2013-新课标II卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及交集。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)）

1. 已知集合 $M=\{x\mid (x-1{)}^2<4,x\in \mathbf{R}\}$, $N=\{-1,0,1,2,3\}$, 则 $M\cap N=$()

A. $\{0,1,2\}$　　B. $\{-1,0,1,2\}$　　C. $\{-1,0,2,3\}$　　D. $\{0,1,2,3\}$

🔍【思路分析】

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2. 解不等式确定集合 $M$：利用开方法或因式分解法解出 $(x-1{)}^2<4$，确定变量 $x$ 的取值范围。
3. 执行交集运算：根据 $M\cap N=\{x\mid x\in M\text{ 且 }x\in N\}$，在集合 $N$ 中寻找符合 $M$ 范围限制的元素。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 $M$ 中的不等式 由 $(x-1{)}^2<4$ 得： $-2<x-1<2$ 不等式各项同时加 $1$ 得： $-1<x<3$ 所以集合 $M=\{x\mid -1<x<3\}$。

第二步：求 $M\cap N$ 已知集合 $N=\{-1,0,1,2,3\}$。 对比集合 $M$ 的范围 $(-1,3)$，逐一核对集合 $N$ 中的元素：

• 对于 $-1$：不满足 $-1<x<3$，故 $-1\notin M$；
• 对于 $0$：满足 $-1<0<3$，故 $0\in M$；
• 对于 $1$：满足 $-1<1<3$，故 $1\in M$；
• 对于 $2$：满足 $-1<2<3$，故 $2\in M$；
• 对于 $3$：不满足 $-1<x<3$，故 $3\notin M$。

由此可得，$M\cap N=\{0,1,2\}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集的运算性质；简单的一元二次不等式（或绝对值不等式）的解法。

核心方法：处理此类“区间 $\cap$ 点集”的题目，最稳妥的方法是“先解出范围，再列举比对”。

避坑指南：注意不等号是否包含等号。若题目给出的是 $\le$，则端点值需要计入交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：并集（$M\cup N$）、补集（${\complement }_{U}M$）、一元二次方程根的分布。

结论推广：若集合 $M=\{x\mid |x-a|<b\}$，则其表示以 $a$ 为中心，$2b$ 为长度的开区间。

方法推广：在处理涉及多个集合运算的复杂题目时，推荐使用数轴法或 Venn图 进行辅助分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集