2013-新课标II卷理-14 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合与组合数公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 14. 从 $n$ 个正整数 $1,2,\dots ,n$ 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 $\frac{1}{14}$，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定总事件数：从 $n$ 个不同的数中任取两个不同的数，这是一个组合问题，总的取法种数为 $C_n^2$。
2. 确定符合条件的事件数：列举两数之和等于 5 的情况。由于是从正整数中取两数，且顺序不计，满足 $x+y=5$ ($x<y$) 的正整数对有 $(1,4)$ 和 $(2,3)$。
3. 建立概率等式：根据古典概型公式 $P=\frac{\text{符合条件的事件数}}{\text{总事件数}}$，建立关于 $n$ 的等式：$\frac{2}{C_n^2}=\frac{1}{14}$。
4. 解方程：解出 $n$ 的值。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析满足两数之和等于 5 的情形 从 $\{1,2,3,\dots ,n\}$ 中取出两个不同的数 $x,y$（设 $x<y$），使得 $x+y=5$：

• 若 $x=1$，则 $y=4$；
• 若 $x=2$，则 $y=3$。 符合条件的组合共 2 种。 （注意：必须满足 $n\ge 4$，否则上述组合无法取全。）

第二步：计算总取法数 从 $n$ 个数中任取 2 个不同的数，总取法数为： $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$

第三步：建立概率方程并求解 根据古典概型公式： $P=\frac{2}{C_n^2}=\frac{1}{14}$ 由此得： $C_n^2=28$ 代入公式： $\frac{n(n-1)}{2}=28$ $n(n-1)=56$

第四步：求 $n$ 因为 $n$ 是正整数，由 $n^2-n-56=0⟹(n-8)(n+7)=0$。 解得 $n=8$ 或 $n=-7$（舍去）。

故答案为：8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的定义；组合数公式 $C_n^r$。

核心方法：枚举法与方程法。本题的易错点在于漏掉某种和为 5 的组合，或者在解 $n(n-1)=56$ 时出现计算错误。

避坑指南：隐含条件是 $n\ge 4$。如果解出的 $n<4$，则需要重新审视满足条件的事件数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件概率、二项分布。

结论推广：若取出的两数之和为 $m$，则符合条件的组合数为 $\lfloor \frac{m-1}{2}\rfloor$。

方法推广：涉及“从 $n$ 个元素中任取”的概率题，分母通常都是 $C_n^r$ 或 $A_n^r$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型