2013-新课标I卷理-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及数量积的运算律。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知两个单位向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$.若 $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$，则 $t=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取已知条件：
   • $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，即 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$。
   • 夹角 $\theta =60^{\circ }$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
2. 利用垂直条件：
   • 已知 $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$，将 $\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ 代入该等式。
3. 建立并求解方程：
   • 利用数量积的分配律展开等式，代入 $|\vec{b}{|}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值，解出 $t$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算基础数量积 由题意，$\vec{a},\vec{b}$ 是单位向量且夹角为 $60^{\circ }$， 所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$； 同时 ${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=1$。

第二步：利用 $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$ 展开 将 $\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ 代入垂直关系式中： $\vec{b}\cdot [t\vec{a}+(1-t)\vec{b}]=0$ 根据向量数量积的分配律： $t(\vec{a}\cdot \vec{b})+(1-t){\vec{b}}^2=0$

第三步：代入数值求解 $t$ 将 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ 和 ${\vec{b}}^2=1$ 代入： $t\cdot \frac{1}{2}+(1-t)\cdot 1=0$ $\frac{1}{2}t+1-t=0$ $-\frac{1}{2}t+1=0$ 解得 $t=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\vec{m}\perp \vec{n}⟺\vec{m}\cdot \vec{n}=0$。

核心方法：基底法。以 $\vec{a},\vec{b}$ 作为基底，将其他向量用基底表示后进行数量积运算，是解决此类向量填空题的通用程序。

避坑指南：- 漏掉单位向量的模长为 1。 - 展开公式时符号出错，特别是 $(1-t)$ 这一项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量基本定理、向量夹角公式。

结论推广：若 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$ 且 $\vec{c}\perp \vec{b}$，则 $\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})+\mu |\vec{b}{|}^2=0$。

方法推广：对于复杂的向量模长或夹角问题，通常通过“平方”或“作点积”的方法转化为代数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积