2013-江苏卷-07 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 现有某类病毒记作为 $X_m{Y}_n$，其中正整数 $m,n(m\le 7,n\le 9)$ 可以任意选取，则 $m,n$ 都取到奇数的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定样本空间（总基本事件数）：
   • $m$ 是 $1$ 到 $7$ 的正整数，共有 $7$ 种取法。
   • $n$ 是 $1$ 到 $9$ 的正整数，共有 $9$ 种取法。
   • 总的基本事件数为 $7\times 9=63$。
2. 确定符合条件的事件数：
   • $m$ 取奇数的情况：$\{1,3,5,7\}$，共 $4$ 种。
   • $n$ 取奇数的情况：$\{1,3,5,7,9\}$，共 $5$ 种。
   • 符合条件的事件数为 $4\times 5=20$。
3. 计算概率：利用古典概型公式 $P=\frac{\text{符合条件的事件数}}{\text{总基本事件数}}$。

✅【答案】

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$\frac{20}{63}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：整体计数法 由题意，$m\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$，共 $7$ 个元素； $n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，共 $9$ 个元素。 根据分步乘法计数原理，所有的病毒记法（总基本事件数）为： $N=7\times 9=63$ 其中 $m$ 取奇数的个数为 $4$（即 $1,3,5,7$）； $n$ 取奇数的个数为 $5$（即 $1,3,5,7,9$）。 符合条件的病毒记法（$m,n$ 均为奇数）为： $n(A)=4\times 5=20$ 故所求概率为： $P=\frac{20}{63}$

方法二：独立分步概率法 $m,n$ 的选取是相互独立的。 $m$ 取到奇数的概率 $P(m)=\frac{4}{7}$； $n$ 取到奇数的概率 $P(n)=\frac{5}{9}$。 则 $m,n$ 都取到奇数的概率为： $P=P(m)\cdot P(n)=\frac{4}{7}\times \frac{5}{9}=\frac{20}{63}$

故答案为：$\frac{20}{63}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型