2013-江苏卷-10 填-向量的加减法与数乘运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量的加减法与数乘运算。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 设 $D,E$ 分别是 $△ABC$ 的边 $AB,BC$ 上的点，且 $AD=\frac{1}{2}AB,BE=\frac{2}{3}BC$.若 $\overrightarrow{DE}={\lambda }_1\overrightarrow{AB}+{\lambda }_2\overrightarrow{AC}$（${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 均为实数），则 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定已知向量关系：
   • 根据 $D$ 在 $AB$ 上且 $AD=\frac{1}{2}AB$，得 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
   • 根据 $E$ 在 $BC$ 上且 $BE=\frac{2}{3}BC$，得 $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$。
2. 构建目标向量路径：
   • 利用向量加法法则：$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$（或者 $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$）。
3. 统一基底表示：
   • 将所有涉及向量转化为以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 为基底的形式。
   • 特别注意 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。
4. 系数求和：
   • 整理出 $\overrightarrow{DE}=(\dots )\overrightarrow{AB}+(\dots )\overrightarrow{AC}$，提取 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 并相加。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知： $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}⟹\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

根据向量的加法法则： $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$ 代入上述表示式： $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)$

合并 $\overrightarrow{AB}$ 的系数： $\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{1}{2}+1-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{DE}=\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

对应题目条件 $\overrightarrow{DE}={\lambda }_1\overrightarrow{AB}+{\lambda }_2\overrightarrow{AC}$，得： ${\lambda }_1=-\frac{1}{6},{\lambda }_2=\frac{2}{3}$

则： ${\lambda }_1+{\lambda }_2=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

故答案为：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的基本定理及其线性运算。 2. 核心技巧：“拆分与转化”。解决向量表示问题的万能钥匙是将目标向量拆分为首尾相接的已知路径，并利用“终点减起点”公式统一基底。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意向量的方向，如 $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$；在转化 $\overrightarrow{BC}$ 时务必使用 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的基本定理及其线性运算。 2. 核心技巧：“拆分与转化”。解决向量表示问题的万能钥匙是将目标向量拆分为首尾相接的已知路径，并利用“终点减起点”公式统一基底。

结论推广：若点 $E$ 在线段 $BC$ 上且满足 $BE:EC=m:n$，则 $\overrightarrow{AE}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}$。

方法推广：对于复杂的几何图形，建立以公共顶点为原点的向量基底系统是处理线段比例问题的最高效工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积