2014-北京卷理-10 填-向量的数乘

本题导读

本题考查平面向量的线性运算及模的性质。核心在于利用向量共线的等价变形，结合向量模的定义求解参数。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$，$\vec{b}=(2,1)$，且 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$)，则 $|\lambda |=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 等价变形：由 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$ 可得 $\vec{b}=-\lambda \vec{a}$。

2. 利用模的性质：对等式两边同时取模，利用性质 $|k\vec{v}|=|k|\cdot |\vec{v}|$。

3. 代入求值：计算已知向量 $\vec{b}$ 的模长，结合 $|\vec{a}|=1$ 直接求出 $|\lambda |$。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由已知方程转化向量关系

因为 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$，

所以 $\vec{b}=-\lambda \vec{a}$。

第二步：两边取模长

$|\vec{b}|=|-\lambda \vec{a}|=|-\lambda |\cdot |\vec{a}|=|\lambda |\cdot |\vec{a}|$

第三步：计算各部分数值

已知 $\vec{b}=(2,1)$，则：

$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

已知 $|\vec{a}|=1$，代入等式：

$\sqrt{5}=|\lambda |\times 1$

解得 $|\lambda |=\sqrt{5}$。

故答案为 $\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量共线与模的性质。

2. 核心方法：由 $\vec{b}=-\lambda \vec{a}$ 两边取模，用 $|\vec{b}|=\sqrt{5}$ 求 $|\lambda |$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量模的性质 $|k\vec{v}|=|k|\cdot |\vec{v}|$。

2. 结论推广: 共线向量模之比等于系数绝对值之比。

3. 方法推广: 由向量等式求参数可先取模或数量积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-10 填-向量的加减法与数乘运算
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积