2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的长分别为 $a$，$b$，$c$，若 $b+c=2a$，$3\sin A=5\sin B$，则角 $C=$()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 由正弦定理 $3\sin A=5\sin B\Rightarrow 3a=5b$ → $a=\frac{5}{3}b$。
2. $c=2a-b=\frac{10}{3}b-b=\frac{7}{3}b$。
3. $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{25}{9}{b}^2+b^2-\frac{49}{9}{b}^2}{2\cdot \frac{5}{3}b\cdot b}=\frac{-\frac{15}{9}{b}^2}{\frac{10}{3}{b}^2}=-\frac{1}{2}$。
4. $C=\frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $\sin A:\sin B=a:b$，故 $3\sin A=5\sin B\Rightarrow 3a=5b\Rightarrow a=\frac{5}{3}b.$ 代入 $b+c=2a$： $c=2\times \frac{5}{3}b-b=\frac{7}{3}b.$ 由余弦定理， $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\frac{25}{9}{b}^2+b^2-\frac{49}{9}{b}^2}{2\times \frac{5}{3}b\times b}=\frac{-\frac{15}{9}{b}^2}{\frac{10}{3}{b}^2}=-\frac{1}{2}.$ 因 $C\in (0,\pi )$，故 $C=\frac{2\pi }{3}$。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边角互化与余弦定理求角

核心方法：$3\sin A=5\sin B\Rightarrow 3a=5b$；$b+c=2a$ → $c=\frac{7}{3}b$；$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-\frac{1}{2}$ → $C=\frac{2\pi }{3}$

避坑指南：正弦定理把角的正弦比换成边比（$3\sin A=5\sin B\Rightarrow 3a=5b$）；$\cos C$ 的分子是 $a^2+b^2-c^2$（求 $C$ 对应边 $c$ 对面），写成分母 $2ab$ ——分子分母配错角就全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理与余弦定理（安徽卷选择题中档）。

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

方法推广：边化角条件换边比 → 用 $b$ 统一表示 $a,c$ → 余弦定理求 $\cos C$ → 定角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形