2013-浙江卷文-08 单-导数定图象

本题导读

本题考查导数与函数图象，以及函数的凹凸性。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 已知函数 $y=f(x)$ 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象如图所示，则该函数的图象是()

🔍【思路分析】

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1. 由 $f^{\prime }(x)$ 的图象：在区间内 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立 → $f(x)$ 单调递增。
2. $f^{\prime }(x)$ 先减小后增大 → 切线斜率先变小再变大 → $f(x)$ 的图象下凸（先缓后陡）。
3. 对照四个选项：只有 B 是下凸的递增曲线。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由导函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象可知： （1）$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 在对应区间上单调递增，排除不满足”一直上升”的选项； （2）$f^{\prime }(x)$ 的值先减小后增大，说明 $f(x)$ 图象上各点处切线的斜率先变小再变大——图象先越来越平缓、再越来越陡峭，即下凸。 四个选项中，同时满足”递增且下凸”的只有 B。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由导函数图象反推原函数图象

核心方法：$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立 → $f$ 单调递增；$f^{\prime }$ 先减后增 → 切线斜率先变小再变大 → $f$ 的图象下凸，即 B

避坑指南：导数图象题抓两件事：符号定增减、增减定凹凸——$f^{\prime }$ 先减后增意味着原函数”先越来越缓、再越来越陡”（下凸）；只看”递增”不看凹凸，会在几个递增选项里无从下手。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与函数图象的关系（浙江卷经典题，导数符号与凹凸性的信息读取）。

结论推广：$f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f$ 递增；$f^{\prime }$ 递减 $\Rightarrow$ $f$ 上凸（增速变缓）；$f^{\prime }$ 递增 $\Rightarrow$ $f$ 下凸（增速变快）。

方法推广：“导函数图象 → 原函数图象”三读：读符号（定增减区间）→ 读零点（定极值）→ 读增减（定凹凸），再对照选项排除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别
• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别