2013-浙江卷理-05 单-程序框图

本题导读

本题考查算法初步，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 $\frac{9}{5}$，则 $($\quad\quad$)$

A. $a=4$　　　　　　B. $a=5$　　　　　　C. $a=6$　　　　　　D. $a=7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解循环逻辑：初始化 $S=1,k=1$。判断条件为 $k>a$？若为“否”，执行 $S=S+\frac{1}{k(k+1)}$ 且 $k=k+1$。
2. 识别数学功能：该程序是一个累加求和的过程。当循环执行到 $k=a$ 时，执行最后一次累加。
3. 建立等式：利用裂项相消法 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ 计算 $S$ 的通项表达式，令其等于 $\frac{9}{5}$ 求解 $a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：模拟程序运行过程

• 初始状态：$S=1,k=1$。
• 第 1 次循环：判断 $1>a$ 为假，执行 $S=1+\frac{1}{1\times 2}$，$k=2$。
• 第 2 次循环：判断 $2>a$ 为假，执行 $S=1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}$，$k=3$。
• …
• 第 $a$ 次循环：判断 $a>a$ 为假，执行 $S=1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{a(a+1)}$，$k=a+1$。
• 退出循环：判断 $a+1>a$ 为真，输出 $S$。

第二步：利用裂项相消法求和 $S=1+\left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{a(a+1)}\right)$ 利用裂项公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$：

$S=1+\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\right)\right]$ $S=1+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)=2-\frac{1}{a+1}$

第三步：建立方程求解 $a$ 已知输出结果为 $\frac{9}{5}$，则： $2-\frac{1}{a+1}=\frac{9}{5}$ $\frac{1}{a+1}=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}$ 解得：$a+1=5⟹a=4$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：循环结构的判定条件与执行次数；裂项相消法在数列求和中的应用。

核心方法：通过模拟前几项循环确定数列的通项与项数。

避坑指南：注意循环的终止位置。在本题中，当 $k=a$ 时仍执行循环体，这意味着最后一项是 $\frac{1}{a(a+1)}$。如果误以为 $k=a$ 时退出，则会导致结果偏小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：算法的流量控制、数列的多种求和方法。

结论推广：对于类似的程序框图，若循环体内是 $S=S+f(k)$，输出即为数列的前 $n$ 项和。

方法推广：裂项相消常见形式还包括 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$、$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ 等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图