2019-全国卷I理-08 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及算法的执行与逻辑推理。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）如图是求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入()

A. $A=\frac{1}{2+A}$　　B. $A=2+\frac{1}{A}$　　C. $A=\frac{1}{1+2A}$　　D. $A=1+\frac{1}{2A}$

🔍【思路分析】

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1. 分析目标式结构： 目标式为 $S=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$。 观察发现其具有典型的递归（嵌套）特征：分母中不断出现 $2+\text{前一步的结果}$ 的倒数。
2. 模拟程序执行：

• 初始状态：$A=\frac{1}{2},k=1$。
• 第一次循环：目标是计算出 $\frac{1}{2+\frac{1}{2}}$。此时 $A$ 的原值为 $\frac{1}{2}$，代入各选项看哪个能输出 $\frac{1}{2+1/2}$。
• 第二次循环：目标是将上一步的结果整体作为分母的一部分，计算出 $\frac{1}{2+\text{上一步结果}}$。

3. 确定递归逻辑： 若令上一次的结果为 $A_{old}$，下一次的结果为 $A_{new}$，则关系式应为 $A_{new}=\frac{1}{2+A_{old}}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】 第一步：初始赋值 程序起始设定 $A=\frac{1}{2},k=1$。

第二步：第一次循环执行 当 $k=1$ 时，满足循环条件 $k\le 2$。 我们需要得到的式子是连分数的第一层嵌套，即 $\frac{1}{2+\frac{1}{2}}$。 此时已有的变量 $A=\frac{1}{2}$。 观察选项 A：$A=\frac{1}{2+A}=\frac{1}{2+\frac{1}{2}}$，符合逻辑。 执行后 $k=k+1=2$。

第三步：第二次循环执行 当 $k=2$ 时，满足循环条件 $k\le 2$。 此时 $A$ 的值已经是 $\frac{1}{2+\frac{1}{2}}$。 再次进入空白框，执行选项 A 的赋值： $A=\frac{1}{2+A}=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$。 执行后 $k=k+1=3$。

第四步：退出循环 当 $k=3$ 时，$k\le 2$ 为“否”，退出循环，输出 $A$。 此时输出的 $A$ 正好是目标式 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 循环次数的判定：注意循环变量 $k$ 的初值、终值以及自增位置。本题 $k$ 从 1 到 2，共执行 2 次赋值，配合初始值 $A=1/2$，正好完成三层嵌套。
• 递归思想：连分数 $x=\frac{1}{2+x}$ 是此类题目最常见的原型。
• 快捷技巧：直接观察目标式的最外层结构，它整体是一个“倒数”形式，分母是 $2+\dots$。这暗示了变量更新一定是 $A=\frac{1}{2+\dots }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 黄金分割：黄金分割数 $\varphi$ 可以表示为连分数 $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots }}$。
2. 框图类型：

• 当型循环 (While)：先判断再执行。
• 直到型循环 (Until)：先执行再判断。

3. 计算精度：在计算机科学中，求连分数通常从最内层开始计算以减少舍入误差，而本题框图采用的是从内向外的迭代逻辑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-05 单-程序框图
• 2014-山东卷理-11 填-程序框图
• 2013-广东卷理-08 单-归纳推理与类比推理