2013-湖北卷文-18 解-解三角形求角

本题导读

本题考查余弦的二倍角公式。核心在于角统一、边化角的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 对应的边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $\cos 2A-3\cos (B+C)=1$.

(1)求角 $A$ 的大小；

(2)若 $△ABC$ 的面积 $S=5\sqrt{3}$，$b=5$，求 $\sin B\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. （1）$\cos (B+C)=-\cos A$ → $2{\cos }^{2}A+3\cos A-2=0$ → $\cos A=\frac{1}{2}$ → $A=\frac{\pi }{3}$。
2. （2）$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot c\sin \frac{\pi }{3}=5\sqrt{3}$ → $c=4$；$a^2=25+16-40\times \frac{1}{2}=21$。
3. $\sin B\sin C=\frac{b\sin A}{a}\cdot \frac{c\sin A}{a}=\frac{5\times 4\times \frac{3}{4}}{21}=\frac{5}{7}$。

✅【答案】

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(1)$A=\frac{\pi }{3}$；(2)$\frac{5}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $B+C=\pi -A$，得 $\cos (B+C)=\cos (\pi -A)=-\cos A$。 代入已知： $\cos 2A+3\cos A=1\Rightarrow 2{\cos }^{2}A-1+3\cos A-1=0,$ $2{\cos }^{2}A+3\cos A-2=0\Rightarrow (2\cos A-1)(\cos A+2)=0.$ 解得 $\cos A=\frac{1}{2}$ 或 $\cos A=-2$（舍去）。 又 $A\in (0,\pi )$，故 $A=\frac{\pi }{3}$。 （2）$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 5\times c\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，得 $c=4$。 由余弦定理： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+16-2\times 5\times 4\times \frac{1}{2}=21,a=\sqrt{21}.$ 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$： $\sin B=\frac{b\sin A}{a},\sin C=\frac{c\sin A}{a},$ $\sin B\sin C=\frac{bc{\sin }^{2}A}{a^2}=\frac{5\times 4\times \frac{3}{4}}{21}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}.$ 故 $\sin B\sin C=\frac{5}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形（倍角与面积）

核心方法：$\cos 2A-3\cos (B+C)=1$ → $2{\cos }^{2}A+3\cos A-2=0$ → $A=\frac{\pi }{3}$；$S=\frac{1}{2}bc\sin A=5\sqrt{3}$，$b=5$ → $c=4$，$a=\sqrt{21}$；$\sin B\sin C=\frac{b\sin A}{a}\cdot \frac{c\sin A}{a}=\frac{5}{7}$

避坑指南：$\cos (B+C)=\cos (\pi -A)=-\cos A$ 必须带负号——丢负号方程就解不出 $\frac{1}{2}$；二次方程另一根 $\cos A=-2$ 要舍去（余弦值域）；$\sin B\sin C$ 用正弦定理边化角最省事，别硬展开 $\sin (B+C)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦二倍角公式、诱导公式与正弦定理（解三角形，湖北卷解答题首题）。

结论推广：角统一（$B+C=\pi -A$）；因式分解解 $\cos A$；边化角求 $\sin B\sin C$。

方法推广：化角 → 解二次方程定 $A$ → 面积定边 → 正弦定理边化角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角