2013-湖北卷文-20 解-矿层中截面

本题导读

本题考查直线与平面平行的性质。核心在于中位线定截面、作差比较的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)）如图，某地质队自水平地面 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 $A_{1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 $A_{2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 $A_{1} A_{2} = d_{1}$ ，同样可得在 $B$ ， $C$ 处正下方的矿层厚度分别为 $B_{1} B_{2} = d_{2}$ ， $C_{1} C_{2} = d_{3}$ ，且 $d_{1} < d_{2} < d_{3}$ ，过 $A B$ ， $A C$ 的中点 $M$ ， $N$ 且与直线 $A A_{2}$ 平行的平面截多面体 $A_{1} B_{1} C_{1} - A_{2} B_{2} C_{2}$ 所得的截面 $D E F G$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 $S_{中}$ .

(1)证明：中截面 $D E F G$ 是梯形；

(2)在 $△ A B C$ 中，记 $B C = a$ ， $B C$ 边上的高为 $h$ ，面积为 $S$ . 在估测三角形 $A B C$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 $A_{1} B_{1} C_{1} - A_{2} B_{2} C_{2}$ 的体积 $V$ ）时，可用近似公式 $V_{估} = S_{中} \cdot h$ 来估算. 已知 $V = \frac{1}{3} (d_{1} + d_{2} + d_{3}) S$ ，试判断 $V_{估}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）截面各顶点均为水平棱的中点： $D G$ 、 $E F$ 分别为梯形 $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ 、 $A_{1} C_{1} C_{2} A_{2}$ 的中位线所在线段 → $D G ∥ E F ∥ A A_{2}$ ，且 $D G = \frac{d _{1} + d _{2}}{2} \neq = \frac{d _{1} + d _{3}}{2} = E F$ （ $d_{2} < d_{3}$ ）→ 一组对边平行不等长 → 梯形。

（2） $S_{中} = \frac{D G + E F}{2} \cdot ∣ M N ∣ = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) a}{8}$ ； $V_{估} = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) S}{4}$ 。

$V_{估} - V = \frac{( 2 d _{1} - d _{2} - d _{3} ) S}{12}$ ；由 $d_{2} > d_{1}$ ， $d_{3} > d_{1}$ → $2 d_{1} - d_{2} - d_{3} < 0$ → $V_{估} < V$ 。

✅【答案】

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(1)见解析；(2) $V_{估} < V$ ，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）依题意， $A A_{2} ∥ B_{1} B_{2} ∥ C_{1} C_{2}$ （三条竖直棱），且矿层上下界面平行： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ ， $A_{1} C_{1} ∥ A_{2} C_{2}$ 。由 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，截面所在平面过 $M N$ 且平行于 $A A_{2}$ ，结合线面平行的性质定理，截面 $D E F G$ 的四个顶点分别是四条水平棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{2} C_{2}$ 的中点（记 $D \in A_{1} B_{1}$ ， $E \in A_{1} C_{1}$ ， $F \in A_{2} C_{2}$ ， $G \in A_{2} B_{2}$ ）。 $D G$ 是梯形 $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ 两腰中点的连线，故 $D G ∥ A_{1} A_{2}$ ，且 $D G = \frac{d _{1} + d _{2}}{2};$ 同理 $E F ∥ A_{1} A_{2}$ ，且 $E F = \frac{d _{1} + d _{3}}{2} .$ 故 $D G ∥ E F$ 。又 $d_{2} < d_{3}$ ，所以 $D G \neq = E F$ 。若 $D E ∥ F G$ ，则 $D E F G$ 两组对边分别平行，应为平行四边形，矛盾。所以 $D E F G$ 是一组对边平行而另一组不平行的四边形，即梯形。（2）梯形 $D E F G$ 的高（两平行边 $D G$ 与 $E F$ 间的距离）为 $∣ M N ∣ = \frac{a}{2}$ （ $M$ ， $N$ 为 $A B$ ， $A C$ 中点， $M N ∥ B C$ ），故 $S_{中} = \frac{D G + E F}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d _{1} + d _{2}}{2} + \frac{d _{1} + d _{3}}{2}) \cdot \frac{a}{2} = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) a}{8} .$ 由 $S = \frac{1}{2} ah$ ，即 $ah = 2 S$ ，得 $V_{估} = S_{中} \cdot h = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) ah}{8} = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) S}{4} .$ 作差： $V_{估} - V = \frac{2 d _{1} + d _{2} + d _{3}}{4} S - \frac{d _{1} + d _{2} + d _{3}}{3} S = \frac{3 ( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) - 4 ( d _{1} + d _{2} + d _{3} )}{12} S = \frac{( 2 d _{1} - d _{2} - d _{3} ) S}{12} .$ 由 $d_{1} < d_{2}$ ， $d_{1} < d_{3}$ ，得 $2 d_{1} - d_{2} - d_{3} < 0$ ，故 $V_{估} - V < 0, 即 V_{估} < V .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与拟柱体体积（中截面）

核心方法：截面四顶点均为棱的中点： $D$ ， $E$ 在两条水平棱上、 $F$ ， $G$ 在另两条水平棱上； $D G ∥ E F ∥ A A_{2}$ （竖直）， $D G = \frac{d _{1} + d _{2}}{2} \neq = \frac{d _{1} + d _{3}}{2} = E F$ → 梯形； $S_{中} = \frac{( 2 d _{1} + d _{2} + d _{3} ) a}{8}$ ， $V_{估} - V = \frac{( 2 d _{1} - d _{2} - d _{3} ) S}{12} < 0$ → $V_{估} < V$

避坑指南：中截面顶点在四条水平棱上（不是三条竖直棱）——两组对边： $D E$ 、 $F G$ 在上下底面内平行 $B C$ ， $D G$ 、 $E F$ 竖直但不等长（因 $d_{2} \neq = d_{3}$ ）→ 只有一组对边平行； $V_{估} - V$ 化简到 $\frac{S}{12} (2 d_{1} - d_{2} - d_{3})$ 后由 $d_{2} > d_{1}$ 、 $d_{3} > d_{1}$ 直接判负。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面平行的性质与拟柱体（斜截柱）体积（新情境立体几何，湖北卷解答题）。

结论推广：中位线定截面顶点；梯形面积公式；作差比较体积。

方法推广：定截面 → 证梯形 → 算 $S_{中}$ → 作差判 $V_{估} < V$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直

2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直

2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直

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2013-湖北卷文-20 解-矿层中截面

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