2013-湖北卷文-21 解-加权平均数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于分式求导、单调性解不等式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 设 $a>0$，$b>0$，已知函数 $f(x)=\frac{ax+b}{x+1}$.

(1)当 $a\ne b$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

(2)当 $x>0$ 时，称 $f(x)$ 为 $a$，$b$ 关于 $x$ 的加权平均数. （i）判断 $f(1)$，$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$，$f\left(\frac{b}{a}\right)$ 是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right)⩽f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$； （ii）$a$，$b$ 的几何平均数记为 $G$，称 $\frac{2ab}{a+b}$ 为 $a$，$b$ 的调和平均数，记为 $H$，若 $H⩽f(x)⩽G$，求 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$f^{\prime }(x)=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}$：$a>b$ 时在 $(-\infty ,-1)$，$(-1,+\infty )$ 均增；$a<b$ 时均减。
2. （2）① $f(1)=\frac{a+b}{2}$，$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\sqrt{ab}$，$f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2ab}{a+b}$，$f(1)\cdot f\left(\frac{b}{a}\right)={\left(\sqrt{ab}\right)}^2$ → 成等比；$f\left(\frac{b}{a}\right)⩽f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$ ⟺ ${\left(\sqrt{\frac{b}{a}}-1\right)}^2⩾0$。
3. ② $H⩽f(x)⩽G$ ⟺ $x$ 介于 $\frac{b}{a}$ 与 $\sqrt{\frac{b}{a}}$ 之间：$a=b$ 时 $x>0$；$a>b$ 时 $\frac{b}{a}⩽x⩽\sqrt{\frac{b}{a}}$；$a<b$ 时 $\sqrt{\frac{b}{a}}⩽x⩽\frac{b}{a}$。

✅【答案】

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(1)$a>b$ 时在 $(-\infty ,-1)$，$(-1,+\infty )$ 上均单调递增；$a<b$ 时均单调递减；(2)①成等比数列，证明见解析；②当 $a=b$ 时 $x>0$；当 $a>b$ 时 $\frac{b}{a}⩽x⩽\sqrt{\frac{b}{a}}$；当 $a<b$ 时 $\sqrt{\frac{b}{a}}⩽x⩽\frac{b}{a}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=\frac{a(x+1)+(b-a)}{x+1}=a+\frac{b-a}{x+1}$，定义域为 $(-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$。 $f\acute{(}x)=\frac{a(x+1)-(ax+b)}{(x+1{)}^2}=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}.$ 当 $a>b$ 时，$f\acute{(}x)>0$，$f$ 在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(-1,+\infty )$ 上均为增函数； 当 $a<b$ 时，$f\acute{(}x)<0$，$f$ 在这两个区间上均为减函数。 （2）（i）计算： $f(1)=\frac{a+b}{2},f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\frac{a\sqrt{b/a}+b}{\sqrt{b/a}+1}=\sqrt{ab},f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{a\cdot \frac{b}{a}+b}{\frac{b}{a}+1}=\frac{2ab}{a+b}.$ 于是 $f(1)\cdot f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{a+b}{2}\cdot \frac{2ab}{a+b}=ab={\left(\sqrt{ab}\right)}^2=f^2\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right),$ 故三者成等比数列（恰为算术平均、几何平均、调和平均）。 又 $f\left(\frac{b}{a}\right)⩽f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)⟺\frac{2ab}{a+b}⩽\sqrt{ab}⟺2\sqrt{ab}⩽a+b,$ 由基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 成立（当且仅当 $a=b$ 取等）。 （ii）由（i），$H=f\left(\frac{b}{a}\right)$，$G=f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$，且 $H⩽G$。 当 $a=b$ 时，$f(x)=\frac{ax+a}{x+1}=a=H=G$，故 $x>0$ 即可。 当 $a>b$ 时，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，$H=f\left(\frac{b}{a}\right)⩽f(x)⩽f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=G$ ⟺ $\frac{b}{a}⩽x⩽\sqrt{\frac{b}{a}}$。 当 $a<b$ 时，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，同理由单调性得 $\sqrt{\frac{b}{a}}⩽x⩽\frac{b}{a}$。 综上：$a=b$ 时 $x$ 的取值范围为 $(0,+\infty )$；$a>b$ 时为 $\left[\frac{b}{a},\sqrt{\frac{b}{a}}\right]$；$a<b$ 时为 $\left[\sqrt{\frac{b}{a}},\frac{b}{a}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参分式函数的单调性与平均数（加权平均）

核心方法：$f(x)=\frac{ax+b}{x+1}$，$f^{\prime }(x)=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}$：$a>b$ 均增、$a<b$ 均减；$f(1)=\frac{a+b}{2}$（算术平均），$f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)=\sqrt{ab}$（几何平均），$f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2ab}{a+b}$（调和平均），且 $A\cdot H=G^2$ 成等比；$H⩽f(x)⩽G$ ⟺ $x\in \left[\frac{b}{a},\sqrt{\frac{b}{a}}\right]$（$a>b$）等

避坑指南：函数是分式 $\frac{ax+b}{x+1}$（原卷文本易误读成 $ax+\frac{b}{x+1}$）；求导分子恰为常数 $a-b$，单调性由 $a$，$b$ 大小一步定；$f(1)$，$f(\sqrt{b/a})$，$f(b/a)$ 恰是算术、几何、调和平均，$AH=G^2$ 恒成等比——把三值算成别的组合就与“平均数”割裂了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数的导数与单调性、基本不等式（平均数体系，湖北卷解答题压轴）。

结论推广：分式求导常数化；识别三类平均数；单调性解不等式。

方法推广：求导定单调 → 算三值证等比 → 按单调性解 $H⩽f(x)⩽G$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-湖北卷文-16 填-分式最值