2013-湖北卷理-13 填-柯西不等式

本题导读

本题考查不等式的证明与应用，以及柯西不等式。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 设 $x,y,z\in \mathbb{R}$，且满足：$x^2+y^2+z^2=1$，$x+2y+3z=\sqrt{14}$，则 $x+y+z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别柯西结构：已知平方和 $x^2+y^2+z^2$ 以及线性组合 $x+2y+3z$。
2. 应用柯西不等式： 利用公式：$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2$。 令 $a_1=x,a_2=y,a_3=z$，$b_1=1,b_2=2,b_3=3$。
3. 验证取等条件： 计算 $(x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+3^2)$ 的值，并与 $(\sqrt{14}{)}^2$ 比较。若相等，说明不等式取等号。
4. 确定变量关系：取等号时必有 $x:y:z=1:2:3$。
5. 求得具体数值：设比例常数，代入已知等式求出 $x,y,z$，最后求和。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{14}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：应用柯西不等式 由柯西不等式得： $(x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+3^2)\ge (1\cdot x+2\cdot y+3\cdot z{)}^2$ 代入已知数据： $(1)\cdot (1+4+9)\ge (x+2y+3z{)}^2$ $14\ge (x+2y+3z{)}^2$

第二步：判定取等号状态 题目已知 $x+2y+3z=\sqrt{14}$，平方后恰好等于 $14$。 根据柯西不等式性质，当且仅当 $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=k$ 时等号成立。

第三步：求解比例常数 $k$ 代入线性方程 $x+2y+3z=\sqrt{14}$： $k+2(2k)+3(3k)=\sqrt{14}$ $14k=\sqrt{14}⟹k=\frac{\sqrt{14}}{14}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

第四步：计算最终结果 则 $x=k,y=2k,z=3k$。 所求式 $x+y+z=k+2k+3k=6k$。 $x+y+z=6\times \frac{\sqrt{14}}{14}=\frac{3\sqrt{14}}{7}$

故答案为：$\frac{3\sqrt{14}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：柯西不等式的三元形式及等号成立的条件（分量成比例）。 7. 核心技巧：“结构锁定”。凡是题目同时给出平方和与一次线性项，应条件反射般想到柯西不等式。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意 $x,y,z$ 的比例必须与系数序列 $1,2,3$ 对应。本题如果计算比例关系出错，会导致结果大幅偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多元函数的最值问题、拉格朗日乘数法（高等背景）。

结论推广：若求 $x+y+z$ 的最大值，可以直接利用柯西不等式：$(x+y+z{)}^2\le (x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)=3$，即最大值为 $\sqrt{3}$。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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