2014-陕西卷理-15 填-柯西不等式

本题导读

本题为三选一选做题，涵盖不等式选讲、几何证明选讲、坐标系与参数方程三个模块。分别考察了柯西不等式的应用、圆中相似三角形的判定与性质，以及极坐标系下的距离计算。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题） 设 $a,b,m,n\in \mathbb{R}$，且 $a^2+b^2=5,ma+nb=5$，则 $\sqrt{m^2+n^2}$ 的最小值为 $\underline{}$.

B.（几何证明选做题） 如图，$△ABC$ 中，$BC=6$，以 $BC$ 为直径的半圆分别交 $AB,AC$ 于点 $E,F$，若 $AC=2AE$，则 $EF=$ $\underline{}$.

C.（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，点 $(2,\frac{\pi }{6})$ 到直线 $\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{6})=1$ 的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

• 题A：典型的柯西不等式结构。利用 $(a^2+b^2)(m^2+n^2)\ge (ma+nb{)}^2$ 直接建立联系求解。
• 题B：利用圆内接四边形性质。$B,C,F,E$ 四点共圆，推出 $△AEF\sim △ACB$，通过相似比 $AE/AC$ 求解 $EF$。
• 题C：坐标转换思路。将极坐标点化为直角坐标点，将极坐标方程化为直角坐标方程，再运用点到直线的距离公式。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

A. 不等式选做题

由柯西不等式得： $(a^2+b^2)(m^2+n^2)\ge (ma+nb{)}^2$ 代入已知条件 $a^2+b^2=5$ 和 $ma+nb=5$： $5(m^2+n^2)\ge 5^2$ $5(m^2+n^2)\ge 25⟹m^2+n^2\ge 5$ 所以 $\sqrt{m^2+n^2}\ge \sqrt{5}$。 当且仅当 $\frac{m}{a}=\frac{n}{b}$ 时取等号。 【答案】 $\sqrt{5}$

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B. 几何证明选做题

因为 $B,C,F,E$ 四点共圆（以 $BC$ 为直径的圆）， 所以圆内接四边形的外角等于内对角，得 $\angle AEF=\angle C,\angle AFE=\angle B$。 从而 $△AEF\sim △ACB$。 根据相似三角形性质： $\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$ 已知 $AC=2AE$，则 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$。 代入数据 $\frac{1}{2}=\frac{EF}{6}$，解得 $EF=3$。 【答案】 $3$

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C. 坐标系与参数方程选做题

1. 转化点坐标： 点 $P(2,\frac{\pi }{6})$，其直角坐标为： $x=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3},y=2\sin \frac{\pi }{6}=1$。即 $P(\sqrt{3},1)$。

2. 转化直线方程： $\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{6})=1⟹\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{6}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{6})=1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}\rho \sin \theta -\frac{1}{2}\rho \cos \theta =1$ 代入 $y=\rho \sin \theta ,x=\rho \cos \theta$： $\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x-1=0⟹x-\sqrt{3}y+2=0$。

3. 计算距离： $d=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{3}(1)+2|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{2}{2}=1$ 【答案】 $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：选做题侧重于基础定义的准确理解和标准公式的熟练运用。

2. 核心方法：抓住系数对应关系配凑，几何题用圆内接四边形找相似三角形。

3. 避坑指南：选做题切忌三题全做，应挑选自己最擅长的模块，且书写时明确标号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二维形式柯西不等式、点到直线距离公式、切割线定理。

2. 结论推广: 在几何证明中，$△AEF$ 与 $△ABC$ 的面积比等于相似比的平方，即 $1/4$。

3. 方法推广: 极坐标方程 $\rho \sin (\theta -\alpha )=d$ 表示一条到原点距离为 $d$ 的直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-10 填-柯西不等式
• 2013-湖北卷理-13 填-柯西不等式
• 2013-陕西卷理-15 填-柯西不等式的代数形式