2013-湖南卷理-10 填-柯西不等式

本题导读

本题考查不等式的证明与应用，以及柯西不等式。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 已知 $a,b,c\in \mathbb{R}$，$a+2b+3c=6$，则 $a^2+4b^2+9c^2$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：
   • 已知式为一次项线性组合：$1\cdot a+1\cdot (2b)+1\cdot (3c)=6$。
   • 目标式为平方项之和：$a^2+(2b{)}^2+(3c{)}^2$。
2. 构造柯西不等式： 利用柯西不等式的三元形式：$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3{)}^2$ 令 $x_1=a,x_2=2b,x_3=3c$； 为了凑出已知等式的左半部分，令 $y_1=1,y_2=1,y_3=1$。
3. 代入计算： 计算系数平方和与已知等式的平方值，从而求得目标式的下界。

✅【答案】

点击查看答案

12

✍【详细解析】

Abstract

第一步：应用柯西不等式 根据柯西不等式，构造如下关系： $(a^2+(2b{)}^2+(3c{)}^2)(1^2+1^2+1^2)\ge (a\cdot 1+2b\cdot 1+3c\cdot 1{)}^2$

第二步：代入已知数据 将已知条件 $a+2b+3c=6$ 代入不等式右侧： $(a^2+4b^2+9c^2)\cdot 3\ge 6^2$ $(a^2+4b^2+9c^2)\cdot 3\ge 36$

第三步：求最小值 不等式两边同时除以 $3$： $a^2+4b^2+9c^2\ge 12$

第四步：验证取等条件 当且仅当 $\frac{a}{1}=\frac{2b}{1}=\frac{3c}{1}=k$ 时等号成立。 代入 $a+2b+3c=6$ 得：$k+k+k=6⟹3k=6⟹k=2$。 此时 $a=2,b=1,c=\frac{2}{3}$，符合实数条件。

故答案为：12。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：柯西不等式的构造及其取等条件（分量成比例）。 2. 核心技巧：“整体思想”。将 $2b$ 和 $3c$ 分别看作独立的项，从而匹配已知等式中系数全为 $1$ 的结构。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意目标式中项的系数。如果误将目标式看作 $a^2+b^2+c^2$，则构造的 $y$ 序列应为 $1,2,3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柯西不等式的构造及其取等条件（分量成比例）。 2. 核心技巧：“整体思想”。将 $2b$ 和 $3c$ 分别看作独立的项，从而匹配已知等式中系数全为 $1$ 的结构。

结论推广：针对更一般的线性约束 $\sum {\alpha }_i{x}_i=k$，求 $\sum x_i^2$ 的最小值，其结果恒为 $\frac{k^2}{\sum {\alpha }_i^2}$。

方法推广：对于此类填空题，若无法直接构造柯西不等式，也可尝试使用拉格朗日乘数法求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-04 单-分式不等式
• 2025-上海卷-02 填-分式不等式
• 2015-上海卷文-16 单-分式不等式