2014-重庆卷理-09 单-排列与组合的综合应用

本题导读

本题考查排列组合中的“不相邻”问题。核心在于处理多组同类元素不相邻的情况。由于元素个数较少且类别复杂（3:2:1），需要通过合理的顺序安排（插空法）或分类讨论来确保所有同类节目均不相邻。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()

A. 72　　　　　　B. 120　　　　　　C. 144　　　　　　D. 168

🔍【思路分析】

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1. 元素分析：设有 A（歌舞）3个，B（小品）2个，C（相声）1个。
2. 处理核心矛盾：A 类节目最多（3个），它们最容易相邻。首先考虑将 A 排好，产生 4 个空位。
3. 插空策略：
   • 将 3 个 A 节目进行全排列，记为 $A_3^3=6$。
   • A 之间有 2 个内部空位 $\square A\text{(1)}A\text{(2)}A\square$。
   • 要使 A 不相邻，内部空位 ① 和 ② 必须被 B 或 C 占据。
4. 分类讨论：
   • 情况一：C 占据 A 之间的空位。
   • 情况二：C 不占据 A 之间的空位（即 C 在两端），则两个 B 必须占据 A 之间的空位。
5. 计算求和：针对每种情况计算排列数，最后相加。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：排列 3 个歌舞类节目（A） 共有 $A_3^3=6$ 种排法。形成如下结构：$\_A_1\_A_2\_A_3\_$，共有 4 个空位（2个内部，2个端点）。

第二步：分类填充空位，使 A 不相邻 要使 3 个 A 不相邻，中间的两个空位必须填充。

类别 1：相声类节目（C）不插在 A 中间 此时 C 必须在 A 序列的两端（2个位置选1个，即 $A_2^1$）。 中间的两个空位必须由 2 个小品类节目（B）填充（全排列，即 $A_2^2$）。 排法数 = $A_3^3\times A_2^1\times A_2^2=6\times 2\times 2=24$ 种。

类别 2：相声类节目（C）插在 A 中间 此时 C 占据中间 2 个空位中的 1 个（即 $A_2^1$）。 剩下的 1 个中间空位和 2 个端点空位（共 3 个位置）中选出 2 个放 B 类节目（即 $A_3^2$）。 但是，这里需要注意 B 也不相邻。在类别 2 下：

• 若 C 占位，结构如 $ACABA$ 或 $BACABA$ 等。
• 只要 B 不被排在同一个空位里，B 就一定不相邻。 排法数 = $A_3^3\times A_2^1\times A_4^2$（总插空）$-$（B 相邻的情况）。 更简便的分类法（如解析图所示）： 将 A 排好后，B, C 共 3 个节目去填 4 个空位，且中间两个空位必填。
• 3个节目（B, B, C）各占一个空位：$A_3^3\times A_4^3=6\times 24=144$。
• 但需排除 B 相邻的情况：即两个 B 捆绑看作一个整体。
• 修正后的解析思路：
  • A 排好：$A_3^3=6$。
  • 若 C 在 A 内部（2个位选1个）：$A_2^1\times A_2^2\times A_4^1=96$ 种。
  • 合计 $24+96=120$ 种。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多类元素不相邻的排列计数。

2. 核心方法：先排歌舞，分相声在端/在中分类插空求和。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 插空法与分类讨论。

2. 结论推广: 同类不相邻先排最多类再插空。

3. 方法推广: 多限制排列分类讨论避免遗漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-14 填-排列与组合的综合应用
• 2013-湖南卷理-18 解-排列组合的应用
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用