2013-福建卷文-06 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $x+y⩽2$，$x⩾1$，$y⩾0$，则 $z=2x+y$ 的最大值和最小值分别为()

A. $4$ 和 $3$　　　　B. $4$ 和 $2$　　　　C. $3$ 和 $2$　　　　D. $2$ 和 $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域：由 $x⩾1$，$y⩾0$，$x+y⩽2$ 围成三角形，顶点 $(1,0)$、$(2,0)$、$(1,1)$。
2. 代入 $z=2x+y$：$z(1,0)=2$，$z(2,0)=4$，$z(1,1)=3$。
3. 最大 $4$，最小 $2$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的平面区域：$x⩾1$ 与 $y⩾0$ 给出第一象限内直线 $x=1$ 右侧、$x$ 轴上方的带形，再被 $x+y=2$ 截出一个三角形。 三条边界两两相交，顶点为 $(1,0),(2,0),(1,1).$ 线性目标函数 $z=2x+y$ 在顶点处取得最值： $z(1,0)=2,z(2,0)=4,z(1,1)=3.$ 故最大值为 $4$（在 $(2,0)$ 处），最小值为 $2$（在 $(1,0)$ 处）。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求目标函数最值

核心方法：可行域是以 $(1,0)$、$(2,0)$、$(1,1)$ 为顶点的三角形，$z=2x+y$ 在顶点处取最值

避坑指南：最值一定在可行域顶点处取得（线性目标函数）——别忘记把三个顶点都代一遍；区域边界"$⩽$"含边界，顶点 $(2,0)$、$(1,0)$ 都可取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单的线性规划（二元一次不等式组 + 目标函数最值）。

结论推广：画可行域 → 求顶点 → 线性目标函数在顶点处取得最值（平移等值线同理）。

方法推广：三步：画域、定顶点、逐顶点代入比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-03 单-线性规划
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2014-北京卷文-13 填-线性规划