2013-福建卷文-08 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环结构。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 $n$ 后，输出的 $S\in (10,20)$，那么 $n$ 的值为()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. 列表逐轮模拟（$S$ 初值 $0$，$k$ 初值 $1$）： 轮 $1$：$S=1$，$k=2$；轮 $2$：$S=3$，$k=3$；轮 $3$：$S=7$，$k=4$；轮 $4$：$S=15$，$k=5$；轮 $5$：$S=31$，$k=6$。
2. $S\in (10,20)$ 仅 $S=15$，即第 $4$ 轮后退出，退出条件 $k>n$ 首次成立时 $k=5$ → $n=4$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

按框图顺序执行：$S=0$，$k=1$，输入 $n$ 后进入循环”$S=1+2S$，$k=k+1$，判断 $k>n$”。 逐轮列表：

轮次	$S$	$k$（更新后）
$1$	$1$	$2$
$2$	$3$	$3$
$3$	$7$	$4$
$4$	$15$	$5$
$5$	$31$	$6$
归纳可知第 $k$ 轮后 $S=2^k-1$。
要使输出的 $S\in (10,20)$，只有 $S=15=2^4-1$，即循环执行 $4$ 轮后退出。
第 $4$ 轮结束时 $k=5$，退出条件"$k>n$"首次成立，故 $n=4$。
（验证：$n=3$ 时输出 $7\notin (10,20)$；$n=5$ 时输出 $31\notin (10,20)$。）
选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的循环结构

核心方法：$S$ 逐轮为 $1,3,7,15,31$（$S_k=2^k-1$），要 $S\in (10,20)$ 只能 $S=15$，对应 $n=4$

避坑指南：退出判断在 $k=k+1$ 之后，所以循环次数恰为 $n$——把判断位置看错就会少算一轮；列表逐轮模拟是最稳的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图的循环结构（数列型累加 $S=1+2S$）。

结论推广：列表法追踪变量；$S=1+2S$ 迭代 $k$ 次后 $S=2^k-1$。

方法推广：逐轮列表：记每轮结束后的 $S$、$k$ → 找落入区间的轮数 → 对应 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-07 单-程序框图
• 2014-北京卷文-04 单-程序框图
• 2014-天津卷文-11 填-程序框图