2013-福建卷文-09 单-三角图象平移

本题导读

本题考查三角函数的图象平移，以及已知三角函数值求角。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 将函数 $f(x)=\sin (2x+\theta )$（$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$）的图象向右平移 $\phi$（$\phi >0$）个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象. 若 $f(x)$，$g(x)$ 的图象都经过点 $P\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，则 $\phi$ 的值可以是()

A. $\frac{5\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ → $\theta =\frac{\pi }{3}$。
2. 右移 $\phi$：$g(x)=\sin \left(2(x-\phi )+\frac{\pi }{3}\right)$。
3. $g(0)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2\phi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $\frac{\pi }{3}-2\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi$ 或 $\frac{2\pi }{3}+2k\pi$。
4. 解得 $\phi =-k\pi$ 或 $\phi =-\frac{\pi }{6}-k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）；取正值得 $\phi =\pi ,2\pi ,\dots$ 或 $\phi =\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\dots$。
5. 选项中只有 $\frac{5\pi }{6}$。

✅【答案】

点击查看答案

（B）

✍【详细解析】

Abstract

第一步定 $\theta$：$f(0)=\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，又 $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$。 第二步写 $g(x)$：图象向右平移 $\phi$ 个单位， $g(x)=f(x-\phi )=\sin \left(2(x-\phi )+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}-2\phi \right).$ 第三步用 $g(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $\sin \left(\frac{\pi }{3}-2\phi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{3}-2\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi 或\frac{2\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbf{Z}).$ 解得 $-2\phi =2k\pi$ 或 $-2\phi =\frac{\pi }{3}+2k\pi$，即 $\phi =-k\pi 或\phi =-\frac{\pi }{6}-k\pi (k\in \mathbf{Z}).$ 由 $\phi >0$：第一类给 $\phi =\pi ,2\pi ,\dots$；第二类给 $\phi =\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\dots$。 对照选项，只有 $\frac{5\pi }{6}$ 符合。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的图象平移

核心方法：$f(0)=\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}$；$g(0)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2\phi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =-k\pi$ 或 $\phi =-\frac{\pi }{6}-k\pi$，正值中 $5\pi /6$ 合题

避坑指南：图象右移 $\phi$ 个单位是给相位减：$x$ 变成 $x-\phi$——方向搞反就全错；解 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时两族解 $\alpha =\frac{\pi }{3}+2k\pi$ 与 $\alpha =\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ 都要写，漏一族就只剩 $\phi =\pi$ 一类而错过 $5\pi /6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的图象平移与已知点定参（双函数过同一点）。

结论推广：左加右减：$f(x)$ 右移 $\phi$ 得 $f(x-\phi )$；$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的通解两族。

方法推广：先用 $f(0)$ 定 $\theta$ → 写出 $g(x)$ → 再用 $g(0)$ 解 $\phi$ → 按选项筛正值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移
• 2014-四川卷文-03 单-图象平移
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换