2013-福建卷文-22 解-导数极值与交点

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于切线条件列方程、含参分类讨论的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=x-1+\frac{a}{e^x}$（$a\in \mathbf{R}$，$e$ 为自然对数的底数）.

(1)若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的极值；

(3)当 $a=1$ 时，若直线 $l$：$y=kx-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{e^x}$。(1) $f^{\prime }(1)=1-\frac{a}{e}=0$ → $a=e$。
2. (2) $a⩽0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，无极值；$a>0$ 时 $x<\ln a$ 递减、$x>\ln a$ 递增，极小值 $f(\ln a)=\ln a$。
3. (3) 记 $c=1-k$，$h(x)=cx+e^{-x}$。 $k=1$（$c=0$）：$h=e^{-x}>0$，无公共点；$k<1$（$c>0$）：$h$ 在 $x=-\ln c$ 处取最小值 $c(1-\ln c)$，$c<e$ 时为正 → 无公共点；$c⩾e$（即 $k⩽1-e$）时 $h_{\min }⩽0$ 而 $h(0)=1>0$ → 有零点；$k>1$（$c<0$）：$h(0)=1>0$ 而 $x\to +\infty$ 时 $h\to -\infty$ → 有零点。
4. 没有公共点 $\iff 1-e<k⩽1$ → $k_{\max }=1$。

✅【答案】

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(1)$a=e$ (2)$a⩽0$ 时无极值；$a>0$ 时极小值 $\ln a$（在 $x=\ln a$ 处），无极大值 (3)$k$ 的最大值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{e^x}$（定义域 $\mathbf{R}$）。 （1）切线平行于 $x$ 轴 $\iff f^{\prime }(1)=0$，即 $1-\frac{a}{e}=0\Rightarrow a=e.$ （2）当 $a⩽0$ 时：$-\frac{a}{e^x}⩾0$，$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{e^x}>0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值。 当 $a>0$ 时：令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $e^x=a$，即 $x=\ln a$。 $x<\ln a$ 时 $e^x<a$，$f^{\prime }(x)<0$；$x>\ln a$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty )$ 上单调递增，在 $x=\ln a$ 处取得极小值 $f(\ln a)=\ln a-1+\frac{a}{a}=\ln a,$ 无极大值。 （3）$a=1$ 时 $f(x)=x-1+e^{-x}$。曲线与直线无公共点 $\iff$ 方程 $f(x)=kx-1$ 无解，即 $h(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+e^{-x}\text{无零点}.$ 记 $c=1-k$，则 $h(x)=cx+e^{-x}$，分三类讨论。 $k=1$（$c=0$）：$h(x)=e^{-x}>0$ 恒成立，无公共点。 $k<1$（$c>0$）：$h^{\prime }(x)=c-e^{-x}$，令 $h^{\prime }=0$ 得唯一驻点 $x=-\ln c$；$x<-\ln c$ 时 $h^{\prime }<0$，$x>-\ln c$ 时 $h^{\prime }>0$，故 $h$ 在该点取最小值 $h_{\min }=c\cdot (-\ln c)+e^{\ln c}=-c\ln c+c=c(1-\ln c).$ （当 $x\to \pm \infty$ 时 $h\to +\infty$。）

• 当 $0<c⩽1$（即 $0⩽k<1$）：$\ln c⩽0$，$h_{\min }=c(1-\ln c)⩾c>0$，无零点，无公共点；
• 当 $1<c<e$（即 $1-e<k<0$）：$0<\ln c<1$，$h_{\min }=c(1-\ln c)>0$，无零点，无公共点；
• 当 $c⩾e$（即 $k⩽1-e$）：$h_{\min }=c(1-\ln c)⩽0$，而 $h(0)=1>0$，故 $h$ 有零点（$c=e$ 时恰在 $x=-1$ 处相切），直线与曲线有公共点。 $k>1$（$c<0$）：$h(0)=1>0$，而当 $x\to +\infty$ 时 $cx\to -\infty$、$e^{-x}\to 0$，故 $h(x)\to -\infty$。由零点存在定理，$h$ 在 $(0,+\infty )$ 内有零点，直线与曲线有公共点。 综上，直线与曲线没有公共点 $\iff 1-e<k⩽1$，故 $k$ 的最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与切线、极值、公共点

核心方法：(1) $f^{\prime }(1)=1-\frac{a}{e}=0$ → $a=e$；(2) $a⩽0$ 无极值，$a>0$ 在 $x=\ln a$ 处取极小值 $\ln a$；(3) $h(x)=(1-k)x+e^{-x}$，没有公共点 $\iff 1-e<k⩽1$，故 $k_{\max }=1$

避坑指南：(2) 别忘 $a⩽0$ 的”无极值”情形——只写 $a>0$ 的结果会扣一半分；(3) 易只验 $k=1$ 就收工：其实 $k<0$ 且 $1-k>e$ 时差函数 $h$ 的最小值 $c(1-\ln c)<0$，直线与曲线反而有两个交点——“没有公共点”的完整范围是 $1-e<k⩽1$，只是题目问最大值恰为 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义、极值的分类讨论与函数与直线无公共点问题（福建卷压轴，三问阶梯）。

结论推广：$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{e^x}$；含参极值按 $a$ 的符号分两类；无公共点 $\iff$ 差函数无零点。

方法推广：(1) 切线水平即 $f^{\prime }(1)=0$；(2) 对 $a$ 分类定单调区间；(3) 作差 $h(x)$，用最小值 $c(1-\ln c)$ 的符号定零点存在性，从而得无公共点的完整范围 $1-e<k⩽1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点