2013-安徽卷理-10 单-极值与最值

本题导读

本题考查导数的应用，以及极值与最值。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 若函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 有极值点 $x_1,x_2$，且 $f(x_1)=x_1$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x){)}^2+2af(x)+b=0$ 的不同实根个数是()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解已知条件：$x_1,x_2$ 是 $f(x)$ 的极值点，根据导数性质，$x_1,x_2$ 是方程 $f^{\prime }(x)=0$ 的两个根。
2. 方程换元：令 $t=f(x)$，则原方程变为 $3t^2+2at+b=0$。
3. 寻找中间根：观察发现 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。可知，方程 $3t^2+2at+b=0$ 的两个实根正是 $x_1$ 和 $x_2$。
4. 还原问题：原方程的不同实根个数等价于 $f(x)=x_1$ 与 $f(x)=x_2$ 这两个方程所有实根的总和。
5. 数形结合：在坐标系中画出 $y=f(x)$ 的示意图，观察直线 $y=x_1$ 和 $y=x_2$ 与曲线的交点。注意题目给出的关键条件 $f(x_1)=x_1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解关于 $f(x)$ 的方程 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。 因为 $x_1,x_2$ 是极值点，所以 $x_1,x_2$ 是方程 $3x^2+2ax+b=0$ 的两根。 设 $t=f(x)$，原方程为 $3t^2+2at+b=0$。 由此可知 $f(x)=x_1$ 或 $f(x)=x_2$。

第二步：利用图像判定根的个数 由于 $f(x)$ 是三次项系数为 $1$ 的函数，图像大致呈“N”型。极值点分别为 $x_1,x_2$。 题目已知 $f(x_1)=x_1$，这意味着直线 $y=x_1$ 恰好经过函数的一个极值点 $(x_1,f(x_1))$。

第三步：分类讨论

1. 情况一：$x_1$ 为极大值点 此时 $f(x_1)=x_1$ 是极大值。因为极小值 $f(x_2)<f(x_1)$，所以 $x_2<x_1$（若 $x_2>x_1$ 则不合逻辑，需根据导数正负判断）。
   • 直线 $y=x_1$ 与曲线切于极大值点，并与另一支相交，共 2 个 交点。
   • 直线 $y=x_2$。由极值特征知，极小值 $f(x_2)<f(x_1)=x_1$。若 $x_2<f(x_2)$，则直线在极小值上方；若 $x_2>f(x_2)$，则在下方。 通过三次函数性质分析，直线 $y=x_2$ 必与曲线只有 1 个 交点（在极小值点左侧或右侧）。 总计 $2+1=3$ 个。


3. 情况二：$x_1$ 为极小值点 此时 $f(x_1)=x_1$ 是极小值。
   • 直线 $y=x_1$ 与曲线切于极小值点，并与左侧一支相交，共 2 个 交点。
   • 此时极大值 $f(x_2)>f(x_1)=x_1$。由函数形态知 $x_2<x_1$，则直线 $y=x_2$ 位于极小值 $x_1$ 的下方。
   • 直线 $y=x_2$ 与曲线只有 1 个 交点。 总计 $2+1=3$ 个。


结论：综合各种情况，方程共有 3 个不同的实根。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点与导函数零点的关系；嵌套方程的解题转化。

核心方法：“内外剥离法”。先解外层方程确定中间变量的值，再通过图像确定内层变量的个数。

避坑指南：容易直接认为每个方程各有 3 个根从而选 6。必须结合极值点坐标与极值的大小关系，判断直线相对于极值的“切、交、离”位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的导数、函数的极大值与极小值、方程的根与函数图像的关系。

结论推广：对于 $f(f(x))=k$ 型问题，交点个数极大程度上取决于 $f(x)$ 极值与 $k$ 的关系。

方法推广：涉及三次函数零点个数，判别式 $\Delta$（针对导数）和极值的正负乘积是关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值
• 2013-陕西卷文-18 解-向量与三角最值
• 2013-福建卷文-22 解-导数极值与交点