2013-福建卷理-02 单-集合子集

本题导读

本题考查集合的关系，以及子集。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 已知集合 $A=\{1,a\}$，$B=\{1,2,3\}$，则“$a=3$”是“$A\subseteq B$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性：若 $a=3$，观察集合 $A$ 是否包含于集合 $B$。即验证 $p\Rightarrow q$。
2. 判定必要性：若 $A\subseteq B$，观察是否一定能推出 $a=3$。即验证 $q\Rightarrow p$。
3. 集合包含关系定义：$A\subseteq B$ 意味着集合 $A$ 中的每一个元素都属于集合 $B$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性（$a=3\Rightarrow A\subseteq B$） 当 $a=3$ 时，集合 $A=\{1,3\}$。 因为 $1\in B$ 且 $3\in B$，所以此时 $A\subseteq B$ 成立。 结论：充分性成立。

第二步：验证必要性（$A\subseteq B\Rightarrow a=3$） 若 $A\subseteq B$，则集合 $A$ 中的元素 $a$ 必须属于集合 $B=\{1,2,3\}$。 根据集合元素的互异性，$a\ne 1$，所以 $a$ 可以取 $2$ 或 $3$。 也就是说，当 $A\subseteq B$ 时，可能有 $a=2$。 此时无法唯一推出 $a=3$。 结论：必要性不成立。

第三步：综合判定 由于充分性成立，必要性不成立，所以“$a=3$”是“$A\subseteq B$”的充分而不必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件的逻辑判定。

核心方法：“双向推导法”。 - $p\Rightarrow q$：充分。 - $q\Rightarrow p$：必要。

避坑指南：在考虑必要性时，容易忽略 $a$ 还可以等于 $2$ 这一情况。集合 $A\subseteq B$ 的条件较宽，而 $a=3$ 的条件较窄，“窄推宽”通常为充分不必要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合元素的性质（确定性、互异性、无序性）、真子集的概念。

结论推广：设命题对应的集合为 $P,Q$，若 $P⊊Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分不必要条件。

方法推广：“双向推导法”。 - $p\Rightarrow q$：充分。 - $q\Rightarrow p$：必要。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

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