2012-湖北卷文-01 单-集合子集计数

本题导读

本题考查集合的包含关系，以及子集个数的计数。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 已知集合 $A=\{x\mid x^2-3x+2=0,x\in \mathbf{R}\}$，$B=\{x\mid 0<x<5,x\in \mathbf{N}\}$，则满足条件 $A\subseteq C\subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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$A=\{1,2\}$，$B=\{1,2,3,4\}$；$C$ 必含 $1,2$，其余元素自由取舍，共 $2^2=4$ 个。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-3x+2=0$ 得 $x=1$ 或 $x=2$，故 $A=\{1,2\}$。

$B=\{x\mid 0<x<5,x\in \mathbf{N}\}=\{1,2,3,4\}$。

由 $A\subseteq C$，$C$ 必须含有元素 $1,2$；由 $C\subseteq B$，$C$ 至多再含 $3,4$ 中的若干个。因此 $C=\{1,2\}\cup T$，其中 $T$ 取 $\{3,4\}$ 的任一子集，共 $2^2=4$ 个：$\{1,2\}$，$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,3,4\}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的化简；包含关系的双向约束；子集个数计数

核心方法：先解方程化简 $A$、$B$，再由 $A\subseteq C$ 锁定必含元素，剩余元素按 $2^k$ 独立取舍

避坑指南：$C$ 的个数不是 $2^4$：$1,2$ 是被 $A\subseteq C$ 锁定的必含元素，只有 $3,4$ 两个元素可以自由取舍，故为 $2^2=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：子集个数计数题，与 2013 年福建卷文第 3 题、2013 年江苏卷第 4 题同族。

结论推广：若 $A\subseteq B$ 且 $B$ 比 $A$ 恰多 $k$ 个元素，则满足 $A\subseteq C\subseteq B$ 的集合 $C$ 共有 $2^k$ 个。

方法推广：“夹在两个集合之间”的计数题：先算出两集合的元素差 $k$，答案就是 $2^k$，不必逐一列举（列举只用来检验）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-03 单-集合子集个数
• 2013-江苏卷-04 填-集合子集
• 2013-福建卷理-02 单-集合子集