2013-福建卷理-05 单-根的判别式

本题导读

本题考查一元二次方程，以及根的判别式。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 满足 $a,b\in \{-1,0,1,2\}$，且关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+2x+b=0$ 有实数解的有序数对 $(a,b)$ 的个数为()

A. 14　　　　　　　B. 13　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 讨论方程类型：

   • 若 $a=0$，方程变为一元一次方程 $2x+b=0$，必有实数解。

   • 若 $a\ne 0$，方程为一元二次方程，有实数解的充要条件是判别式 $\Delta \ge 0$。

2. 建立判别式：$\Delta =2^2-4ab=4-4ab$。

3. 转化条件：

   • 当 $a\ne 0$ 时，$4-4ab\ge 0⟹ab\le 1$。

4. 计数策略：

   • 直接法：分 $a$ 取不同值时，分别数出满足条件的 $b$ 的个数。

   • 间接法：计算总的组合数，减去不符合条件的组合数（即 $a\ne 0$ 且 $ab>1$ 的情况）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总的有序数对个数

集合中有 4 个元素，有序数对 $(a,b)$ 共有 $4\times 4=16$ 种取法。

第二步：分类讨论方程有解的情况

• 情况 1：$a=0$

  方程为 $2x+b=0$，解为 $x=-\frac{b}{2}$。由于 $b$ 有 4 种取值（$-1,0,1,2$），均能使方程有实根。

  对应的有序数对有：$(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)$，共 4 个。

• 情况 2：$a\ne 0$

  此时方程为一元二次方程，有实根需满足 $\Delta =4-4ab\ge 0$，即 $ab\le 1$。

  我们从反面考虑 $ab>1$ 的情况（此时 $a,b\in \{-1,1,2\}$）：

  1. 若 $a=1$，则 $b>1$，只有 $b=2$ 满足，数对为 $(1,2)$。

  2. 若 $a=2$，则 $2b>1⟹b>\frac{1}{2}$，满足条件的 $b$ 有 $1,2$，数对为 $(2,1),(2,2)$。

  3. 若 $a=-1$，则 $-b>1⟹b<-1$，集合中无满足条件的元素。

     不满足条件的数对共有 3 个。

第三步：计算最终结果

总数对 16 个，减去 $a\ne 0$ 时不满足 $\Delta \ge 0$ 的 3 个数对：

$16-3=13$（个）。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“正难则反”。当满足条件的数对较多时，数出不满足条件的（$ab>1$）往往更高效。

避坑指南：确认“有序数对”意味着 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 是两个不同的结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的零点、二次函数的图象与 $x$ 轴交点。

结论推广：一元二次方程根的分布与系数 $a,b,c$ 紧密相关，若要求有“正根”或“异号根”，则需结合韦达定理。

方法推广：涉及离散集合的计数问题，表格法也是一种直观且防漏的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)