2011-福建卷文-06 单-二次方程判别式

本题导读

本题考查一元二次方程根的判别式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 若关于 $x$ 的方程 $x^2+mx+1=0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(-1,1)$　　B. $(-2,2)$　　C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：“两个不相等的实数根”$\Rightarrow \Delta =m^2-4>0$

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方程 $x^2+mx+1=0$ 有两个不相等的实数根 $⟺\Delta =m^2-4>0$。

解得 $m^2>4$，即 $m<-2$ 或 $m>2$，故 $m\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根的判别式；二次不等式求解

核心方法：“两不等实根”$⟺\Delta >0$，解关于 $m$ 的二次不等式

避坑指南：$\Delta >0$ 对应”两个不相等”实根，$\Delta =0$ 是两相等实根（排除端点 $\pm 2$）；别解成 $m^2>2$ 而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：判别式题与 2013-福建卷理-05、2011-新课标卷文-10、2012-北京卷文-05 同族。

结论推广：推广：方程 $x^2+mx+1=0$ 有两正根还要求 $1>0$（两根之积为正恒成立）；若常数项为负，则必有一正一负根，与 $\Delta$ 联立讨论。

方法推广：二次方程根的存在问题：先把文字条件（两不等实根 / 有实根 / 无实根）翻译成 $\Delta$ 的不等式，再解不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-05 单-根的判别式
• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数