2013-福建卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题考查算法初步，以及程序框图。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 阅读如图所示的程序框图，若输入的 $k=10$，则该算法的功能是()

A. 计算数列 $\{2^{n-1}\}$ 的前 10 项和

B. 计算数列 $\{2^{n-1}\}$ 的前 9 项和

C. 计算数列 $\{2^n-1\}$ 的前 10 项和

D. 计算数列 $\{2^n-1\}$ 的前 9 项和

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化变量：$S=0$，$i=1$。

2. 模拟循环过程：

   • 第 1 次循环：$S=1+2\times 0=1$，$i=2$。此时 $i>10$ 不成立。

   • 第 2 次循环：$S=1+2\times 1=3=2^2-1$，$i=3$。此时 $i>10$ 不成立。

   • 第 3 次循环：$S=1+2\times 3=7=2^3-1$，$i=4$。

3. 寻找规律：观察 $S$ 的演变过程。$S_1=1$, $S_2=1+2$, $S_3=1+2+4\dots$。

   • 这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 $n$ 项和。

   • 通项公式 $a_n=2^{n-1}$。

4. 确定循环次数：

   • 判定框条件为 $i>k$（即 $i>10$）。

   • 当 $i=10$ 时，进入第 10 次循环，计算 $S$ 后 $i$ 变为 11，满足条件退出。

   • 故循环共执行了 10 次。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析递推关系

程序核心语句为 $S=1+2S$。

设循环 $n$ 次后的结果为 $S_n$，则有递推式：

$S_n=2S_{n-1}+1$ 且 $S_0=0$。

第二步：识别数列特征

由 $S_n+1=2(S_{n-1}+1)$，可知 $\{S_n+1\}$ 是首项为 $S_0+1=1$，公比为 2 的等比数列。

则 $S_n+1=2^n⟹S_n=2^n-1$。

我们知道 $2^n-1$ 正是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列 $\{2^{n-1}\}$ 的前 $n$ 项和公式：

$S_n=\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$。

第三步：确定 $n$ 的取值

• 当 $i=1$ 时，执行第 1 次循环，结束后 $i=2$；

• 当 $i=2$ 时，执行第 2 次循环，结束后 $i=3$；

• …

• 当 $i=10$ 时，执行第 10 次循环，结束后 $i=11$。

  此时 $11>10$ 成立，退出循环，输出 $S$。

  因此，最终输出的是第 10 次循环后的 $S$，即该等比数列的前 10 项和。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直到型循环结构（先执行循环体，后判断条件）。

核心方法：“列表追踪法”。对于复杂的框图，列出变量 $i$ 与 $S$ 随循环次数变化的表格，能有效防止多算或少算一次循环。

避坑指南：注意判定框的出口。本题是先计算 $S$ 后增加 $i$，这决定了 $i$ 的最终界限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列通项公式、算法的顺序结构与分支结构。

结论推广：形式为 $S=aS+b$ 的程序框图通常对应等比数列或构造性等比数列的求和。

方法推广：涉及数列通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$ 的转换，需熟记 $a_n=S_n-S_{n-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图