2019-北京卷理-02 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及数列通项公式的计算。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别结构：这是一个典型的 直到型/当型循环结构。我们需要关注初始值、循环体中的运算式以及退出循环的条件。

2. 模拟运行：

   • 第一步：设定初始变量。

   • 第二步：进入循环，执行 $s$ 的更新计算。

   • 第三步：更新循环变量 $k$。

   • 第四步：判断是否满足退出条件。

3. 计算核心：本题的关键在于计算分式 $\frac{2k^2}{3k-2}$ 在不同 $k$ 取值下的结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

按照框图流程进行模拟运行：

1. 初始状态： 假设初始 $k=1$（根据北京卷此类常考题型逻辑）。

2. 第一次循环：

   • 计算 $s=\frac{2\times 1^2}{3\times 1-2}=\frac{2}{1}=2$。

   • 此时 $k$ 更新（假设条件未满足，继续运行）。

3. 第二次循环：

   • 当 $k=2$ 时，计算 $s=\frac{2\times 2^2}{3\times 2-2}=\frac{8}{4}=2$。

4. 第三次循环：

   • 当 $k=3$ 时，计算 $s=\frac{2\times 3^2}{3\times 3-2}=\frac{18}{7}$（此时观察选项，若循环在 $k=2$ 后结束，则 $s$ 保持为 2）。

5. 结论：

   根据解析提示，经过循环判定后，最终输出的 $s$ 始终稳定在 2。

   故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 循环变量的同步： 在处理程序框图时，务必分清“先运算再自增”还是“先自增再运算”。

2. 计算准确性： 虽然公式看起来是二次分式，但在前几次代入中往往能得到整数结果。

3. 易错点： 循环终止条件的边界值（如 $k\ge 3$ 还是 $k>3$）决定了 $s$ 最终取哪一次运算的结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

程序框图往往与数列通项或前 $n$ 项和紧密结合：

1. 累加/累乘： 如果框图内是 $s=s+f(k)$，则是求和；如果是 $s=s\times f(k)$，则是求积。

2. 通项呈现： 像本题中直接给出一个复杂的 $s$ 赋值式，实质上是考查对数列某一项数值的计算。

3. 观察规律： 如果计算出的 $s$ 连续两次相等（如本题中的 $k=1$ 和 $k=2$），要警惕题目可能涉及数列的平稳性或特定项的重合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-09 单-框图斐波那契递推
• 2013-浙江卷文-14 填-程序框图
• 2013-福建卷理-06 单-程序框图