2013-福建卷理-20 解-解析式确定

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质。核心在于待定系数法、导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ ($\omega >0,0<\phi <\pi$) 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $(\frac{\pi }{4},0)$.将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象.

(1)求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式；

(2)是否存在 $x_0\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4})$，使得 $f(x_0),g(x_0),f(x_0)g(x_0)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_0$ 的个数，若不存在，说明理由；

(3)求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x)=f(x)+ag(x)$ 在 $(0,n\pi )$ 内恰有 2013 个零点.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解析式）：
   • 利用周期 $T=\pi =\frac{2\pi }{\omega }$ 求出 $\omega =2$。
   • 代入对称中心 $(\frac{\pi }{4},0)$，即 $f(\frac{\pi }{4})=0$，结合 $\phi$ 的范围求出 $\phi =\frac{\pi }{2}$。
   • 利用图象变换规律（横坐标伸长：$x\to \frac{1}{2}x$，向右平移：$x\to x-\frac{\pi }{2}$）求出 $g(x)$。
2. 第二问（等差数列判定）：
   • 在区间 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4})$ 内分析 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的值域，确定它们的大小关系。
   • 根据等差中项定义列出方程，如 $2g(x_0)=f(x_0)+f(x_0)g(x_0)$。
   • 构造函数并利用导数判定其在该区间内的单调性及零点个数。
3. 第三问（零点个数讨论）：
   • 零点满足 $\cos 2x+a\sin x=0$。利用分离参数法得 $a=-\frac{\cos 2x}{\sin x}=\frac{2{\sin }^{2}x-1}{\sin x}=2\sin x-\frac{1}{\sin x}$。
   • 令 $h(x)=-\frac{\cos 2x}{\sin x}$，研究 $h(x)$ 在一个周期 $[0,2\pi ]$ 内的图象及与直线 $y=a$ 的交点情况。
   • 分析当 $a$ 取不同值时，零点个数的奇偶性规律。特别注意 2013 是奇数，需寻找产生奇数个零点的临界状态。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由 $f(x)$ 周期为 $\pi$，$\omega >0$，得 $\omega =\frac{2\pi }{\pi }=2$。 因为图象过点 $(\frac{\pi }{4},0)$，所以 $f(\frac{\pi }{4})=\sin (2\cdot \frac{\pi }{4}+\phi )=\sin (\frac{\pi }{2}+\phi )=\cos \phi =0$。 由于 $0<\phi <\pi$，故 $\phi =\frac{\pi }{2}$。 所以 $f(x)=\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cos 2x$。 变换过程：$\cos 2x\stackrel{\text{伸长}}{\to }\cos x\stackrel{\text{向右平移}}{\to }\cos (x-\frac{\pi }{2})=\sin x$。 故 $f(x)=\cos 2x,g(x)=\sin x$。

（Ⅱ）解： 当 $x\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4})$ 时，$g(x)=\sin x\in (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$f(x)=\cos 2x\in (0,\frac{1}{2})$。 此时有 $g(x)>f(x)>f(x)g(x)$。 要成等差数列，只能是 $2f(x)=g(x)+f(x)g(x)$。 设 $G(x)=\sin x+\sin x\cos 2x-2\cos 2x$。 求导得 $G^{\prime }(x)=\cos x+\cos x\cos 2x-2\sin x\sin 2x+4\sin 2x=\cos x+\cos x\cos 2x+2\sin 2x(2-\sin x)$。 在 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4})$ 上，$G^{\prime }(x)>0$，函数递增。 $G(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}<0$； $G(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0-2\cdot 0=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$。 根据零点存在性定理，在 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4})$ 内存在唯一的 $x_0$ 满足题意。

（Ⅲ）解： $F(x)=0⟺\cos 2x+a\sin x=0$。若 $\sin x=0$，则 $\cos 2x=1\ne 0$，故 $\sin x\ne 0$。 方程等价于 $a=\frac{-\cos 2x}{\sin x}$。令 $h(x)=\frac{2{\sin }^{2}x-1}{\sin x}=2\sin x-\frac{1}{\sin x}$。 $h^{\prime }(x)=2\cos x+\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=\cos x(2+\frac{1}{{\sin }^{2}x})$。 在区间 $(0,\pi )$ 内：$x=\frac{\pi }{2}$ 是极大值点，$h(\frac{\pi }{2})=1$。 在区间 $(\pi ,2\pi )$ 内：$x=\frac{3\pi }{2}$ 是极小值点，$h(\frac{3\pi }{2})=-1$。 由图象分析：

• 当 $a>1$ 时，直线 $y=a$ 与 $h(x)$ 在 $(0,\pi )$ 内无交点，在 $(\pi ,2\pi )$ 内有 2 个交点。
• 当 $a<-1$ 时，在 $(0,\pi )$ 内有 2 个交点，在 $(\pi ,2\pi )$ 无交点。
• 当 $a=1$ 时，在 $(0,\pi )$ 内有 1 个交点（切点），在 $(\pi ,2\pi )$ 内有 2 个交点。总共 3 个。
• 当 $a=-1$ 时，在 $(0,\pi )$ 内有 2 个交点，在 $(\pi ,2\pi )$ 内有 1 个交点（切点）。总共 3 个。

由于函数 $h(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，每个周期内交点个数恒为偶数（当 $a\ne \pm 1$ 时）。 2013 是奇数，故必须取 $a=\pm 1$。 当 $a=\pm 1$ 时，一个周期 $(0,2\pi )$ 内恰有 3 个零点。 设 $n=2m$。则在 $(0,2m\pi )$ 内共有 $3m$ 个零点。 令 $3m=2013⟹m=671$。 则 $n=2\times 671=1342$。

综上，$a=1$ 或 $-1$，$n=1342$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的综合应用，方程根的个数（零点）与函数图象的关系。

核心方法：“数形结合与分离参数”。处理零点个数最稳妥的方法是将常数参数分离到等式一侧，研究另一侧函数的单调性及图象特征。

避坑指南：伸缩变换时，是对 $x$ 变量本身的变化，要注意系数的影响。第三问中 2013 是奇数是破题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的周期性、等差中项公式、导数判断极值。

结论推广：若零点个数为 $N$，当 $N$ 为奇数时，通常对应直线与曲线相切或经过周期边界点的情况。

方法推广：利用二阶导数可以进一步确认函数图象的凸向，辅助画出更精确的示意图。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-13 填-函数解析式