2013-辽宁卷理-02 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及交集。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知集合 $A=\{x|0<{\log }_{4}x<1\}$，$B=\{x|x\le 2\}$，则 $A\cap B=$()

A. $(0,1)$　　　　B. $(0,2]$　　　　C. $(1,2)$　　　　D. $(1,2]$

🔍【思路分析】

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1. 解对数不等式：利用对数函数的单调性。由于底数 $4>1$，函数 $y={\log }_{4}x$ 为增函数。将 $0$ 和 $1$ 转化为以 $4$ 为底的对数，即可求出 $x$ 的范围，从而确定集合 $A$。
2. 集合求交：将集合 $A$ 和集合 $B$ 的取值范围在数轴上表示出来，寻找它们的重叠部分，注意区间端点的开闭。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 A 中的不等式 由 $0<{\log }_{4}x<1$ 得： ${\log }_{4}1<{\log }_{4}x<{\log }_{4}4$ 由于底数 $4>1$，对数函数 $y={\log }_{4}x$ 在定义域内单调递增， 所以 $1<x<4$。 即集合 $A=\{x|1<x<4\}$，用区间表示为 $(1,4)$。

第二步：求 A 与 B 的交集 已知集合 $B=\{x|x\le 2\}$，用区间表示为 $(-\infty ,2]$。 则 $A\cap B=(1,4)\cap (-\infty ,2]$：

• 左端点：集合 $A$ 大于 $1$（开），集合 $B$ 包含负无穷，故公共部分大于 $1$（开）。
• 右端点：集合 $A$ 小于 $4$（开），集合 $B$ 小于等于 $2$（闭），故公共部分小于等于 $2$（闭）。 综上，$A\cap B=\{x|1<x\le 2\}$，即 $(1,2]$。

]

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集