2013-辽宁卷理-17 解-向量模与数量积

本题导读

本题考查向量的坐标运算。核心在于辅助角公式法、整体换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 设向量 $\vec{a}=(\sqrt{3}\sin x,\sin x)$，$\vec{b}=(\cos x,\sin x)$，$x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

（I）若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，求 $x$ 的值；

（II）设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$，求 $f(x)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求 $x$）：
   • 利用向量模的坐标公式 $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 建立等式。
   • 两边平方消去根号，利用同角三角函数关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 进行化简，求出 $\sin x$。
2. 第二问（求最值）：
   • 利用数量积的坐标公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 写出解析式。
   • 运用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 及降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 将解析式化为 $A\sin (2x+\varphi )+B$ 的形式。
   • 根据 $x$ 的范围确定 $2x-\varphi$ 的范围，从而求出正弦函数的最大值。

✅【答案】

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此时 $f(x{)}_{\max }=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解： 由 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ 可得 $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2$。 代入坐标得：$(\sqrt{3}\sin x{)}^2+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$ 整理得：$3{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x⟹3{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$ 由于 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，则 $\cos x\ne 0$，两边同除以 ${\cos }^{2}x$ 得： ${\tan }^{2}x=\frac{1}{3}⟹\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 解得：$x=\frac{\pi }{6}$。

（II）解： 由已知得： $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=(\sqrt{3}\sin x)(\cos x)+(\sin x)(\sin x)$ $f(x)=\sqrt{3}\sin x\cos x+{\sin }^{2}x$ 利用二倍角公式： $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$ 运用辅助角公式： $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$ 因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $-\frac{\pi }{6}\le 2x-\frac{\pi }{6}\le \pi -\frac{\pi }{6}$，即 $-\frac{\pi }{6}\le 2x-\frac{\pi }{6}\le \frac{5\pi }{6}$。 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$。 此时 $f(x{)}_{\max }=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标运算与三角恒等变换的衔接。

核心方法：降幂扩角。在三角求最值题型中，看到 $\sin x\cos x$ 或 ${\sin }^{2}x$ 必须立刻联想到二倍角公式，目的是将自变量统一为 $2x$。

避坑指南：在求最值时，务必先确定“整体角” $2x-\varphi$ 的范围。如果忽视了定义域，容易直接默认正弦值为 1，但在某些题目中，定义域限制可能使角取不到 $\pi /2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切函数的图象与性质、诱导公式。

结论推广：向量与三角函数的结合是高考中的高频考点。通常第一步是“化向量为代数”，第二步是“化三角为单名”。

方法推广：对于 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 求最值，也可以考虑向量夹角公式 $|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$，但在坐标已知的情况下，坐标法通常更直接。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-17 解-向量模与数量积
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积