2012-福建卷文-17 解-等差等比与古典概型

本题导读

本题考查等差数列。核心在于公式法、列举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 和等比数列 $\{b_n\}$ 中，$a_1=b_1=1$，$b_4=8$，$\{a_n\}$ 的前 $10$ 项和 $S_{10}=55$.

(1)求 $a_n$ 和 $b_n$；

(2)现分别从 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $3$ 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

🔍【思路分析】

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（1）$10+45d=55$ 得 $d=1$，$a_n=n$；$q^3=8$ 得 $q=2$，$b_n=2^{n-1}$；（2）$9$ 个基本事件中 $2$ 个相等，$P=\frac{2}{9}$。

✅【答案】

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(1)$a_n=n$，$b_n=2^{n-1}$；(2)$P=\frac{2}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。

由 $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=10+45d=55$，得 $d=1$，故 $a_n=a_1+(n-1)d=n$。

由 $b_4=b_1{q}^3=q^3=8$，得 $q=2$，故 $b_n=2^{n-1}$。

（2）分别从 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的前 $3$ 项中各抽一项，基本事件为有序数对：

$\Omega =\{(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)\}$，共 $9$ 个，等可能。

其中两项的值相等的事件 $E=\{(1,1),(2,2)\}$，含 $2$ 个基本事件。

故 $P(E)=\frac{2}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差（比）数列的基本量运算；古典概型

核心方法：和公式与通项公式各求一个参数；列举法数基本事件后作比

避坑指南：$\{b_n\}$ 前 $3$ 项是 $1,2,4$（不是 $1,2,3$），故 $(3,3)$ 不在样本空间中，相等事件只有 $2$ 个；基本事件是有序数对，总数 $3\times 3=9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列与概率交汇题，与 2013 年广东卷文第 17 题、2014 年天津卷理第 16 题同族。

结论推广：$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；$b_n=b_1{q}^{n-1}$；$P=\frac{m}{\mathrm{C}}$。

方法推广：第一问数列、第二问概率的”拼盘题”各自独立处理；列举基本事件时按字典序写全再计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-17 解-等比数列前n项和推导

• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型

• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式