2013-陕西卷理-21 解-曲线的切线方程

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于分离参数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^x,x\in \mathbb{R}$.

（I）若直线 $y=kx+1$ 与 $f(x)$ 的反函数的图像相切，求实数 $k$ 的值；

（II）设 $x>0$，讨论曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=m{x}^2(m>0)$ 公共点的个数；

（III）设 $a<b$，比较 $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ 与 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（切线问题）：
   • 确定 $f(x)=e^x$ 的反函数为 $y=\ln x(x>0)$。
   • 设切点坐标为 $(x_0,\ln x_0)$。利用导数 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ 求得切线斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
   • 结合切点在直线上，列出方程组解出 $k$。
2. 第二问（公共点个数）：
   • 将问题转化为方程 $e^x=m{x}^2$ 在 $(0,+\infty )$ 上的根的个数。
   • 分离参数：$m=\frac{e^x}{x^2}$。构造辅助函数 $g(x)=\frac{e^x}{x^2}(x>0)$。
   • 求导分析 $g(x)$ 的单调性与极小值，通过观察水平直线 $y=m$ 与 $g(x)$ 图像的交点来分类讨论。
3. 第三问（不等式比较）：
   • 本质是比较指数函数的平均值与割线斜率（或函数凹凸性的应用）。
   • 构造函数：将待比较两式相减，设 $t=b-a>0$。
   • 转化为关于 $t$ 的单变量函数 $h(t)$，通过二阶导数或多次求导证明其单调性，判定其正负。

✅【答案】

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（III）解：结论为 $\frac{f(a)+f(b)}{2}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）解：


函数 $f(x)=e^x$ 的反函数为 $y=\ln x$。 设直线与 $y=\ln x$ 相切于点 $(x_0,y_0)$， 则 $y_0=\ln x_0$，且该点的导数 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}=\frac{1}{x_0}$。 依题意有斜率 $k=\frac{1}{x_0}⟹x_0=\frac{1}{k}$。 将切点代入直线方程 $y=kx+1$： $\ln x_0=k\cdot x_0+1=k\cdot \frac{1}{k}+1=2$。 由 $\ln x_0=2$ 得 $x_0=e^2$。 故 $k=\frac{1}{x_0}=\frac{1}{e^2}$。

（II）解： 令 $e^x=m{x}^2$，由于 $x>0,m>0$，可得 $m=\frac{e^x}{x^2}$。 设 $g(x)=\frac{e^x}{x^2}(x>0)$，则 $g^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2-e^x\cdot 2x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$。

• 当 $0<x<2$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>2$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 所以 $g(x{)}_{\min }=g(2)=\frac{e^2}{4}$。 观察 $g(x)$ 图像：当 $x\to 0^{+}$ 时 $g(x)\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 时 $g(x)\to +\infty$。

1. 当 $m>\frac{e^2}{4}$ 时，直线 $y=m$ 与 $g(x)$ 图像有 2 个交点，即原曲线有 2 个公共点；
2. 当 $m=\frac{e^2}{4}$ 时，有 1 个公共点；
3. 当 $0<m<\frac{e^2}{4}$ 时，没有公共点。

（III）解：结论为 $\frac{f(a)+f(b)}{2}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 理由如下： 要比较 $\frac{e^a+e^b}{2}$ 与 $\frac{e^b-e^a}{b-a}$。 令 $b-a=t(t>0)$，则 $b=a+t$。 原式等价于比较 $\frac{e^a+e^{a+t}}{2}$ 与 $\frac{e^{a+t}-e^a}{t}$。 两边除以 $e^a$（$e^a>0$），即比较 $\frac{1+e^t}{2}$ 与 $\frac{e^t-1}{t}$。 构造函数 $h(t)=\frac{1+e^t}{2}-\frac{e^t-1}{t}=\frac{t(1+e^t)-2(e^t-1)}{2t}$。 令 $G(t)=t(1+e^t)-2e^t+2(t>0)$。 $G^{\prime }(t)=1+e^t+t{e}^t-2e^t=1+(t-1)e^t$。 $G^{\prime \prime }(t)=e^t+(t-1)e^t=t{e}^t$。 因为 $t>0$，所以 $G^{\prime \prime }(t)>0$，则 $G^{\prime }(t)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增。 $G^{\prime }(t)>G^{\prime }(0)=1+(0-1)e^0=0$。 所以 $G(t)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，则 $G(t)>G(0)=0\cdot 2-2+2=0$。 故 $h(t)=\frac{G(t)}{2t}>0$，即 $\frac{f(a)+f(b)}{2}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线斜率）、分离参数研究根的个数、利用导数证明抽象不等式。

核心方法：“构造函数法”。特别是第三问，将两个自变量 $a,b$ 通过换元转化为一个增量 $t$，是简化解析式、寻找单调性规律的关键。

避坑指南：第二问在讨论公共点时，除了考虑极值点，还必须考虑端点处的极限趋势（$x\to 0^{+}$ 和 $x\to +\infty$），以确保分类讨论的完整性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：拉格朗日中值定理、二阶导数判断函数凹凸性。

结论推广：第三问揭示了指数函数的下凸性（Convexity）。根据詹森不等式（Jensen’s Inequality），对于下凸函数，两点连线的中点纵坐标（算术平均）大于该段弧的平均变化率。

方法推广：遇到 $f(x)$ 与 $m{x}^k$ 的交点问题，优先考虑 $m=f(x)/x^k$ 分离参数，转化为求新函数的最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 04.01 指数与对数运算
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程