2014-江西卷文-09 单-双曲线方程

本题导读

求出 $A$ 的坐标，由圆过原点得 $c=4$，再由圆过 $A$ 得关于 $a$、$b$ 的方程，与 $c^2=a^2+b^2$ 联立。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 过双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的一条渐近线相交于 $A$.若以 $C$ 的右焦点为圆心、半径为 $4$ 的圆经过 $A$，$O$ 两点（$O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$　　B. $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$　　C. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$　　D. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

右顶点为 $(a,0)$，垂线为 $x=a$，交点 $A(a,b)$；圆过 $O$ 给出 $|OF|=4$，圆过 $A$ 给出 $|AF|=4$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

右顶点为 $(a,0)$，过它作 $x$ 轴的垂线为 $x=a$，与渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 的交点为 $A(a,b)$，故 $|OA|=\sqrt{a^2+b^2}=c$。 设右焦点 $F(c,0)$。以 $F$ 为圆心、半径 $4$ 的圆经过 $O$ 与 $A$，故 $|OF|=|AF|=4$，于是 $c=4$，且 $△OAF$ 的三边均为 $c=4$，是等边三角形。 又 $AB\perp OF$（其中 $B$ 为 $(a,0)$），等边三角形的高 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}c=2\sqrt{3}$，底边被垂足平分，故 $|OB|=\frac{c}{2}=2$，即 $a=2$，$b=2\sqrt{3}$，$b^2=12$。 所以 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的顶点、焦点、渐近线与圆的方程

2. 核心方法：几何条件代数化、等边三角形观察

3. 避坑指南：交点 $A$ 的纵坐标等于 $b$（渐近线在 $x=a$ 处的函数值），别写成 $\frac{b}{a}$；由圆过原点得 $c=4$ 是突破口，注意到 $△OAF$ 恰为等边三角形可快速读出 $a$、$b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线与圆的交汇题。

2. 结论推广: 过双曲线右顶点 $(a,0)$ 作 $x$ 轴垂线交渐近线于 $(a,b)$，此时 $|OA|=\sqrt{a^2+b^2}=c$。

3. 方法推广: 求圆锥曲线方程的流程固定：设标准形式，用几何条件列方程，解参数，回代检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-21 解-双曲线方程
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程