2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积

本题导读

《九章算术》文化题。米堆是 $\frac{1}{4}$ 个圆锥：弧长 8 尺定半径，体积先算整圆锥再除以 4，最后按 1.62 立方尺/斛换算。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周 8 尺，高 5 尺. 问：积及为米几何？“其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ()

A. $14$ 斛　　　　　B. $22$ 斛　　　　　C. $36$ 斛　　　　　D. $66$ 斛

🔍【思路分析】

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1. $\frac{1}{4}$ 圆锥底面弧长 $=\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=8\Rightarrow r=\frac{16}{\pi }$。
2. 体积 $V=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
3. 斛数 $=V÷1.62$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥底面半径为 $r$，米堆底部弧长为 $\frac{1}{4}$ 个底面圆周：

$\frac{1}{4}\cdot 2\pi r=8⟹r=\frac{16}{\pi }.$

米堆（$\frac{1}{4}$ 圆锥）的体积

$V=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{12}\cdot \frac{256}{{\pi }^2}\cdot 5=\frac{1280}{12\pi }=\frac{320}{3\pi }\text{立方尺}.$

取 $\pi \approx 3$，得 $V\approx \frac{320}{9}\approx 35.6$ 立方尺.

故堆放的米约为 $\frac{35.6}{1.62}\approx 22$ 斛，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的体积公式；弧长公式；简单的单位换算与估算。

2. 核心方法：“部分圆锥 = 整圆锥 ÷ 4”；“弧长 → 半径 → 体积 → 换算”一条线。

3. 避坑指南：① 底面弧长是 $\frac{1}{4}$ 周长，直接把 8 当直径或半径就全错；② 本题强调”估算”，取 $\pi \approx 3$，取更精确的 $\pi$ 反而与选项对不上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：以《九章算术》为载体的数学文化题自 2015 年起进入全国卷并成为常客，立体几何体积是首选载体（2015 年全国Ⅰ理第 6 题为同题的理科版本）。

2. 结论推广: 若米堆为”依垣”（半圆锥，$\frac{1}{2}$ 圆锥），同条件下斛数翻倍为约 $44$ 斛；体积比例与圆心角成正比。

3. 方法推广: 旋转体”切角”问题通法：先按完整旋转体计算，再按圆心角比例缩减；弧长 $l=\theta r$ 是切口处的钥匙。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-6