2014-上海卷文-17 单-向量数量积

本题导读

考查数量积的坐标化。建系后 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}$ 只依赖 $P_i$ 的一个坐标，按取值分类即可。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，$AB$ 是大正方形的一边，$P_i$（$i=1,2,\cdots ,7$）是小正方形的其余顶点，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}$（$i=1,2,\cdots ,7$）的不同值的个数为()

A. $7$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴建系。
2. $\overrightarrow{AB}=(2,0)$，数量积 $=2x_i$，只与横坐标有关。
3. 7 个点的横坐标只能取 $0,1,2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A(0,0)$，$B(2,0)$，即 $\overrightarrow{AB}=(2,0)$。

7 个点 $P_i$ 的坐标 $(x_i,y_i)$ 中，$x_i\in \{0,1,2\}$（网格顶点的横坐标只有这三个值）。于是

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}=2x_i+0\cdot y_i=2x_i\in \{0,2,4\}.$

三个值都能取到（$x_i=0,1,2$ 的点均存在），故不同值的个数为 $3$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标表示；分类计数。

2. 核心方法：“数量积坐标化”后，目标量往往只依赖少数几个坐标，按坐标取值分类即可。

3. 避坑指南：$\overrightarrow{AB}$ 的长是 $2$ 不是 $1$（大正方形边长为 2）；只数点数（7 个）而不数取值个数是常见误选 A 的原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 网格 + 向量是上海卷选择题的常见组合，考”坐标化降维”的基本功。

2. 结论推广: 若把 $AB$ 换成对角线方向，则 $\overrightarrow{AB}=(2,2)$，数量积 $=2(x_i+y_i)$，不同值取决于 $x_i+y_i$ 的可能取值。

3. 方法推广: “见网格就建系，见数量积就坐标化”，把几何问题化为整数取值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-13 填-向量数量积
• 2014-安徽卷文-10 单-向量数量积