2014-天津卷文-13 填-向量数量积

本题导读

把 $\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$ 用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 表示，再按数量积展开。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$\angle BAD=120^{\circ }$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$DC$ 上，$BC=3BE$，$DC=\lambda DF$.若 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=1$，则 $\lambda$ 的值为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AB}$。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

记 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 为基底，则 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\times 2\times \cos 120^{\circ }=-2$。 由 $BC=3BE$ 得 $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，故 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$。 由 $DC=\lambda DF$ 得 $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{DC}=\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AB}$，故 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AB}$。 于是 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{\lambda }|\overrightarrow{AB}{|}^2+\left(1+\frac{1}{3\lambda }\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{AD}{|}^2$ $=\frac{4}{\lambda }-2\left(1+\frac{1}{3\lambda }\right)+\frac{4}{3}=\frac{4}{\lambda }-\frac{2}{3\lambda }-\frac{2}{3}=\frac{10}{3\lambda }-\frac{2}{3}$。 由 $\frac{10}{3\lambda }-\frac{2}{3}=1$ 得 $\frac{10}{3\lambda }=\frac{5}{3}$，解得 $\lambda =2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数量积与基底表示

2. 核心方法：以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 为基底展开

3. 避坑指南：$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 的夹角是 $\angle BAD=120^{\circ }$，不是 $60^{\circ }$，故其数量积为 $-2$；这是本题最容易出错的一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量的线性运算与数量积。

2. 结论推广: 基底法：把待求向量用一组不共线向量表示，再按数量积的运算律展开，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\cdot 2\cos 120^{\circ }=-2$。

3. 方法推广: 凡在平行四边形、菱形、三角形中出现“用一组基底表示向量”，先把所有向量统一到同一组基底，再算数量积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-04 单-向量数量积
• 2014-陕西卷文-13 填-向量数量积