2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、函数建模法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$.过左焦点 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A^{\prime }$ 两点，$|A{A}^{\prime }|=4$.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 $P,P^{\prime }$，过 $P,P^{\prime }$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外.若 $PQ\perp P^{\prime }Q$，求圆 $Q$ 的标准方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求椭圆方程）：
   • 坐标表示：左焦点 $F_1(-c,0)$。过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=-c$。
   • 代入求解：将 $x=-c$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求出 $y$ 的坐标，利用 $|A{A}^{\prime }|=\frac{2b^2}{a}=4$ 建立方程。
   • 结合离心率：结合 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $a^2=b^2+c^2$ 求解 $a,b,c$。
2. 第二问（求圆方程）：
   • 对称性分析：由于 $P,P^{\prime }$ 关于 $x$ 轴对称，且圆包含这两点，故圆心 $Q$ 必在 $x$ 轴上。设 $Q(x_0,0)$。
   • 转化条件：椭圆上其余点在圆外 $⟺$ 椭圆上的点到 $Q$ 的距离 $|MQ|$ 的最小值在点 $P,P^{\prime }$ 处取得。
   • 建立函数：设椭圆上任意点 $M(x,y)$，表示 $|MQ{|}^2$ 随 $x$ 的变化函数。利用椭圆方程消去 $y^2$，得到关于 $x$ 的二次函数。
   • 极值判定：二次函数的最值点即为 $P$ 的横坐标 $x_1$。
   • 应用垂直关系：$PQ\perp P^{\prime }Q⟺\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{Q{P}^{\prime }}=0$。代入坐标关系求解 $x_0$ 和半径 $r=|QP|$。

✅【答案】

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故椭圆标准方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。；故圆 $Q$ 的标准方程分别为：

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意，设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 左焦点 $F_1(-c,0)$，则 $A(-c,\frac{b^2}{a})$。 因为 $|A{A}^{\prime }|=4$，所以 $\frac{2b^2}{a}=4⟹b^2=2a$。 又离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c^2=\frac{1}{2}{a}^2$。 由 $a^2=b^2+c^2$ 得：$a^2=2a+\frac{1}{2}{a}^2$。 整理得 $\frac{1}{2}{a}^2=2a$，由于 $a\ne 0$，解得 $a=4$。 从而 $a^2=16$，$b^2=2\times 4=8$。 故椭圆标准方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。

（Ⅱ）解： 由对称性，设圆心 $Q(x_0,0)$。设 $M(x,y)$ 为椭圆上任意一点。 则 $|MQ{|}^2=(x-x_0{)}^2+y^2=(x-x_0{)}^2+8(1-\frac{x^2}{16})$ $=x^2-2x_{0}x+x_0^2+8-\frac{1}{2}{x}^2$ $=\frac{1}{2}{x}^2-2x_{0}x+x_0^2+8$ $=\frac{1}{2}(x-2x_0{)}^2-x_0^2+8$

其中 $x\in [-4,4]$。根据题意，$P(x_1,y_1)$ 是使距离最小的点。 由二次函数性质，当 $x=2x_0$ 时取最小值，故 $x_1=2x_0$。 且由于 $P,P^{\prime }$ 是椭圆上的点（非顶点），需满足 $x_1\in (-4,4)$。 此时 $|QP{|}^2=8-x_0^2$。

因为 $PQ\perp P^{\prime }Q$，则 $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{Q{P}^{\prime }}=0$。 设 $P(x_1,y_1),P^{\prime }(x_1,-y_1)$，则： $(x_1-x_0)(x_1-x_0)+y_1(-y_1)=0$ $(x_1-x_0{)}^2-y_1^2=0$

代入 $x_1=2x_0$ 和 $y_1^2=8(1-\frac{x_1^2}{16})=8-\frac{1}{2}{x}_1^2$： $(2x_0-x_0{)}^2-(8-\frac{1}{2}(2x_0{)}^2)=0$ $x_0^2-8+2x_0^2=0⟹3x_0^2=8⟹x_0=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}$。 此时 $x_1=\pm \frac{4\sqrt{6}}{3}\in (-4,4)$ 成立。 半径平方 $r^2=|QP{|}^2=8-x_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$。

故圆 $Q$ 的标准方程分别为： $(x+\frac{2\sqrt{6}}{3}{)}^2+y^2=\frac{16}{3}$ 和 $(x-\frac{2\sqrt{6}}{3}{)}^2+y^2=\frac{16}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“距离函数化”。处理圆与圆锥曲线的“包含”或“相切”关系时，将距离平方表示为坐标的函数并研究其最值是极其有效的方法。 2. 关键条件：“其余点在圆外”。这决定了圆的半径必须等于椭圆上点到圆心距离的最小值。如果半径大于最小值，圆就会与椭圆有更多交点或部分椭圆弧在圆内。

避坑指南：二次函数的对称轴 $x=2x_0$ 必须落在椭圆的横坐标范围 $(-4,4)$ 内，否则最小值将在端点处取得，圆将退化为与椭圆在顶点处相切。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的切线方程、曲率圆的概念。 7. 8.

结论推广：对于长短轴比例不同的椭圆，此类圆存在的充要条件与离心率大小密切相关。

方法推广：涉及“相交于不同两点”且满足特定几何性质（如垂直、等腰），利用向量数量积或斜率乘积 $-1$ 建立坐标方程是标准解法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆