2014-上海卷理-04 填-分段函数求值

本题导读

本题考查分段函数的求值。由 $f(2)=4$ 出发，需要对 $2$ 落在哪一段内分类讨论：若落在第二段则 $f(2)=2^2=4$ 成立，若落在第一段则 $f(2)=2\ne 4$ 不成立，据此反解 $a$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in (-\infty ,a)\\ x^2,& x\in [a,+\infty )\end{array}$，若 $f(2)=4$，则 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 定位自变量：自变量为 $x=2$，关键看 $2$ 与分界点 $a$ 的大小关系。
2. 分类代入：$2\in (-\infty ,a)$ 时 $f(2)=2$；$2\in [a,+\infty )$ 时 $f(2)=2^2=4$。
3. 反解范围：只保留能使 $f(2)=4$ 成立的分支，再与分支的前提取交。

✅【答案】

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$(-\infty ,2]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定 $2$ 所在的段 分界点为 $a$，故只需比较 $2$ 与 $a$ 的大小。

第二步：分类讨论

• 若 $2<a$，即 $a>2$，则 $2\in (-\infty ,a)$，此时 $f(2)=2\ne 4$ 不符合题意，舍去。
• 若 $2\ge a$，即 $a\le 2$，则 $2\in [a,+\infty )$，此时 $f(2)=2^2=4$ 符合题意。

第三步：写出范围 综上，$a$ 的取值范围为 $a\le 2$，即 $(-\infty ,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的求值，以及由函数值反求参数范围的分类讨论。

2. 核心方法：判断自变量落在哪一段，是解分段函数问题的第一步；求参数的取值范围时，要把每种情形下解出的结果与“该情形成立的前提”取交集。

3. 避坑指南：分界点处取闭区间还是开区间要与题目给出的定义域一致（本题第二段含左端点 $a$）；答成 $(2,+\infty )$ 是只算了不成立的分支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数的定义，是上海卷填空题中“小切口、重基础”的常见考法。

2. 结论推广: 若 $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x<a\\ h(x),& x\ge a\end{array}$，则 $f(x_0)$ 的值需比较 $x_0$ 与 $a$ 后才能确定；由 $f(x_0)=m$ 求 $a$ 时，应逐段使 $g(x_0)=m$ 或 $h(x_0)=m$，并把解与分段前提取交。

3. 方法推广: 含参的分段函数问题，先“定型”再“定量”——先由自变量的取值范围判断该用哪一段解析式，再在该前提下求解参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-18 单-分段函数的最值
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数