2014-北京卷文-15 解-数列通项求和

本题导读

$a_n=3n$；$b_n-a_n$ 首项 1、公比 2，$b_n=3n+2^{n-1}$；$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}+2^n-1$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，满足 $a_1=3$，$a_4=12$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=4$，$b_4=20$，且 $\{b_n-a_n\}$ 是等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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$a_n=3n$；$b_n-a_n$ 首项 1、公比 2，$b_n=3n+2^{n-1}$；$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}+2^n-1$。

✅【答案】

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(1) $a_n=3n$，$b_n=3n+2^{n-1}$ (2) $S_n=\frac{3n(n+1)}{2}+2^n-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$：$a_4=a_1+3d$，$12=3+3d$，$d=3$，所以 $a_n=3n$。

设 $c_n=b_n-a_n$，则 $\{c_n\}$ 是等比数列，且 $c_1=b_1-a_1=1$，$c_4=b_4-a_4=8$。

设公比为 $q$：$c_4=c_1{q}^3$，$q^3=8$，$q=2$，故 $c_n=2^{n-1}$。

所以 $b_n=a_n+c_n=3n+2^{n-1}$。

（检验：$b_1=3+1=4$ ✓，$b_4=12+8=20$ ✓）

(2) 分组求和：

$S_n=\sum _{k=1}^{n}3k+\sum _{k=1}^n{2}^{k-1}=\frac{3n(n+1)}{2}+\frac{1-2^n}{1-2}=\frac{3n(n+1)}{2}+2^n-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项；等比数列通项；分组求和

2. 核心方法：“作差构造”新数列，用两组已知值定首项与公比；求和按等差 + 等比分组

3. 避坑指南：①$\{b_n-a_n\}$ 的首项是 $b_1-a_1=1$ 而不是 4——新数列的首项要用”同一 $n$“的两项相减；②等比部分 $\sum 2^{k-1}=2^n-1$，指数与项数错一位是高频错误，写两项检验即可自纠。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列常规解答题，与 2014 年新课标Ⅱ文第 5 题（等差等比）、新课标Ⅱ理第 17 题同族。

2. 结论推广: 一般地，”$b_n=a_n\pm c_n$ 且 $\{c_n\}$ 等比”的结构：先求 $a_n$，再用同一编号的两组值定 $\{c_n\}$；求和按”等差部分 + 等比部分”分组，各用各的公式。

3. 方法推广: 新数列构造题：把已知条件翻译成新数列的首项与某一项，定公比后回代，最后用 $n=1,4$ 双点检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-05 单-等差等比数列
• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式