2014-上海卷理-14 填-中点向量关系

本题导读

本题通过向量等式考查中点关系。核心在于将“存在性问题”转化为点 $A$ 的横坐标与曲线 $C$、直线 $l$ 横坐标范围之间的代数关系，考查对半圆方程的识别与坐标运算能力。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 已知曲线 $C:x=-\sqrt{4-y^2}$，直线 $l:x=6$.若对于点 $A(m,0)$，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$ 使得 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$，则 $m$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化向量等式：$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$ 意味着 $A$ 是线段 $PQ$ 的中点。
2. 分析几何图形：
   • 曲线 $C:x=-\sqrt{4-y^2}$ 变形为 $x^2+y^2=4$ 且 $x\le 0$，即左半圆（含端点）。
   • 直线 $l:x=6$ 是垂直于 $x$ 轴的直线。
3. 建立坐标关系：利用中点坐标公式，点 $A$ 的坐标 $(m,0)$ 应满足 $m=\frac{x_P+x_Q}{2}$ 且 $0=\frac{y_P+y_Q}{2}$。
4. 利用范围求解：由于存在性要求，只需根据 $x_P$ 和 $x_Q$ 的取值范围，推导出 $m$ 的覆盖区间。

✅【答案】

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$[2,3]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：识别曲线性质 曲线 $C$ 的方程为 $x=-\sqrt{4-y^2}$。 两边平方得 $x^2=4-y^2$，即 $x^2+y^2=4$。 由于 $x=-\sqrt{4-y^2}\le 0$，故曲线 $C$ 表示以原点为圆心、2 为半径的左半圆。 因此，$C$ 上点 $P(x_P,y_P)$ 的横坐标取值范围是： $x_P\in [-2,0]$

第二步：分析直线与中点关系 直线 $l:x=6$。则 $l$ 上任意点 $Q(x_Q,y_Q)$ 的横坐标恒为： $x_Q=6$ 已知 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$，说明 $A(m,0)$ 是线段 $PQ$ 的中点。 根据中点坐标公式的横坐标部分： $m=\frac{x_P+x_Q}{2}$

第三步：计算 $m$ 的范围 将 $x_Q=6$ 代入上式得： $m=\frac{x_P+6}{2}$ 由于 $x_P\in [-2,0]$，代入不等式：

• 当 $x_P=-2$ 时，$m=\frac{-2+6}{2}=2$；
• 当 $x_P=0$ 时，$m=\frac{0+6}{2}=3$。 由于 $m$ 关于 $x_P$ 是连续的线性函数，故 $m$ 的取值范围为 $[2,3]$。 (注：纵坐标部分 $0=\frac{y_P+y_Q}{2}$ 意味着对于每一个 $y_P\in [-2,2]$，总能找到对应的 $y_Q=-y_P$ 落在直线 $l$ 上，因此纵坐标条件始终可以满足)。

故答案为 $[2,3]$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量等式 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$ 的几何意义是 $A$ 为 $PQ$ 中点。

2. 核心方法：坐标转换法。将几何的存在性问题转化为实数区间运算。

3. 避坑指南：必须准确识别 $x=-\sqrt{4-y^2}$ 仅代表半圆。如果是全圆，$x_P\in [-2,2]$，结果会变为 $[2,4]$，这是常见的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的标准方程、向量的加法运算、中点坐标公式。

2. 结论推广: 若 $A$ 分 $PQ$ 的比为 $\lambda$，则可利用定比分点坐标公式处理。

3. 方法推广: 涉及“存在点 $P$ 满足某向量关系”的问题，通常利用轨迹思想或参数范围法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-06 单-向量中点
• 2014-湖南卷文-10 单-向量模
• 2014-湖北卷文-12 填-向量模