2014-新课标I卷文-06 单-向量中点

本题导读

用位置向量表示 $\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{FC}$，相加化简得 $\overrightarrow{AD}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 设 $D$，$E$，$F$ 分别为 $△ABC$ 的三边 $BC$，$CA$，$AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=$ ()

A. $\overrightarrow{BC}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$　　　　　　C. $\overrightarrow{AD}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

🔍【思路分析】

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用位置向量表示 $\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{FC}$，相加化简得 $\overrightarrow{AD}$，选 C。（合集字母 A 与其选项表自相矛盾，复算为准）

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $A,B,C$ 对应的位置向量为 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，则 $E=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$，$F=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$，$D=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$。

$\overrightarrow{EB}=\vec{b}-\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$，$\overrightarrow{FC}=\vec{c}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$。

相加：$\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}=\overrightarrow{AD}$。

故选 C（合集答案页印 A，但其选项表 A 为 $\overrightarrow{BC}$，自相矛盾；精品解析答案键为 C，复算一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的线性运算；中点的向量公式

2. 核心方法：位置向量法（或 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$）

3. 避坑指南：两条向量起点不同，不能”首尾相接”硬拼；用位置向量统一到同一组基向量后再合并，是最不易错的路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量中点恒等式（doc 考点定位：平面向量），2014 年新课标Ⅰ理第 15 题同卷（理考向量与圆的组合）。

2. 结论推广: 一般地，$D,E,F$ 为三边中点时 $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AD}$，这是中位线定理的向量表述，反向也成立。

3. 方法推广: 向量恒等式证明的首选工具是位置向量（或选定基底），代入中点条件后合并同类项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘