2013-福建卷文-16 填-保序同构新定义

本题导读

本题考查函数的新定义，以及函数的单调性与值域。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 设 $S$，$T$ 是 $\mathbf{R}$ 的两个非空子集. 如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：

(1)$T=\{f(x)\mid x\in S\}$；(2)对任意 $x_1$，$x_2\in S$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称这两个集合”保序同构”. 现给出以下 3 对集合： ① $A=\mathbf{N}$，$B={\mathbf{N}}^{\ast }$； ② $A=\{x\mid -1⩽x⩽3\}$，$B=\{x\mid -8⩽x⩽10\}$； ③ $A=\{x\mid 0<x<1\}$，$B=\mathbf{R}$. 其中，“保序同构”的集合对的序号是 $\underline{}$.（写出所有”保序同构”的集合对的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①：$f(n)=n+1$（$n\in \mathbf{N}$），值域 $\{1,2,3,\dots \}={\mathbf{N}}^{\ast }$ 且严格递增 ✓。
2. ②：$f(x)=\frac{9}{2}x-\frac{7}{2}$，$f(-1)=-8$，$f(3)=10$，闭区间上线性严格递增且值域恰为 $[-8,10]$ ✓。
3. ③：$f(x)=\ln \frac{x}{1-x}$（$0<x<1$），严格递增，值域为 $\mathbf{R}$ ✓。 三对都保序同构。

✅【答案】

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①②③

✍【详细解析】

Abstract

“保序同构”要求两件事同时成立： （i）$f$ 在 $S$ 上严格递增；（ii）$f$ 的值域恰好是 $T$（满射）。 ① 取 $f(n)=n+1$（$n\in \mathbf{N}$）。$n$ 增大时 $f$ 严格递增；值域为 $\{1,2,3,\dots \}={\mathbf{N}}^{\ast }=B$。两条件满足 ✓。 ② 取线性函数 $f(x)=\frac{9}{2}x-\frac{7}{2}$。由 $f(-1)=-\frac{9}{2}-\frac{7}{2}=-8$，$f(3)=\frac{27}{2}-\frac{7}{2}=10$，且线性函数严格递增，故当 $x$ 取遍 $[-1,3]$ 时值域恰为 $[-8,10]=B$ ✓。 ③ 取 $f(x)=\ln \frac{x}{1-x}$（$0<x<1$）。令 $g(x)=\frac{x}{1-x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}>0$ 严格递增，且 $x\to 0^{+}$ 时 $g\to 0^{+}$、$x\to 1^{-}$ 时 $g\to +\infty$；$\ln$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递增，故 $f$ 严格递增，值域为 $\mathbf{R}=B$ ✓。 三对集合都存在符合条件的函数，序号为 ①②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义”保序同构”

核心方法：三对集合逐一验证：① $f(n)=n+1$ ② 线性 $f(x)=\frac{9}{2}x-\frac{7}{2}$ ③ $f(x)=\ln \frac{x}{1-x}$，都是严格递增且值域恰为 $B$ → ①②③

避坑指南：新定义两条件缺一不可：满射（$T$ 恰为函数值集合）与严格递增——②的值域是闭区间 $[-8,10]$，端点要取得到，用线性函数正好；③ 值域要铺满 $\mathbf{R}$，多项式不行（多项式在 $\mathbf{R}$ 上还有界段），要请对数型函数帮忙。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数新定义（保序同构 = 严格递增 + 满射），福建卷填空压轴。

结论推广：构造具体函数验证；常用递增满射模型：平移 $n+1$、线性、$\ln \frac{x}{1-x}$、$\tan$。

方法推广：拆定义列两条清单 → 逐对集合构造或举反例 → 汇总序号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2014-北京卷文-02 单-函数增减比较