2014-北京卷文-20 解-导数切线条数

本题导读

(1) 最大值 $\sqrt{2}$；(2) $g(u)=-4u^3+6u^2-3$ 有极小 $-3$、极大 $-1$，3 条切线 $⟺t\in (-3,-1)$；(3) A、B、C 分别 3、2、1 条。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=2x^3-3x$.

(1) 求 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值；

(2) 若过点 $P(1,t)$ 存在 3 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $t$ 的取值范围；

(3) 问过点 $A(-1,2)$，$B(2,10)$，$C(0,2)$ 分别存在几条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切？（只需写出结论）

🔍【思路分析】

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切线方程 $y=(6u^2-3)x-4u^3$ 是全程枢纽：(2) 把”3 条切线”翻译成 $g(u)=t$ 有 3 个不同根，用 $g$ 的极值 $-3$、$-1$ 夹出 $t$ 的范围；(3) 逐点解三次方程数不同实根。

✅【答案】

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(1) 最大值为 $\sqrt{2}$ (2) $t$ 的取值范围是 $(-3,-1)$ (3) 过 $A$ 有 3 条、过 $B$ 有 2 条、过 $C$ 有 1 条

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=6x^2-3=3(2x^2-1)$，临界点 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

比较端点与临界点：$f(-2)=-10$，$f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}$，$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\sqrt{2}$，$f(1)=-1$。

所以最大值为 $\sqrt{2}$。

(2) 设切点横坐标为 $u$，$f^{\prime }(u)=6u^2-3$，切线方程

$y=f(u)+f^{\prime }(u)(x-u)=(6u^2-3)x-4u^3$。

切线过 $P(1,t)$：$t=g(u)=-4u^3+6u^2-3$。

$g^{\prime }(u)=-12u^2+12u=12u(1-u)$：$g$ 在 $(-\infty ,0)$ 递减，$(0,1)$ 递增，$(1,+\infty )$ 递减；

极小值 $g(0)=-3$，极大值 $g(1)=-1$。

水平线 $y=t$ 与 $g(u)$ 的图象有 3 个不同交点 $⟺-3<t<-1$。

（不同的切点横坐标给出不同的切线：若同一条直线与三次曲线在两个不同点相切，则该直线与曲线的交点计重数将超过 3，矛盾。）

所以 $t$ 的取值范围是 $(-3,-1)$。

(3) 过点 $(x_0,y_0)$ 的切线满足 $y_0=(6u^2-3)x_0-4u^3$。

$A(-1,2)$：$2=-6u^2+3-4u^3$，即 $4u^3+6u^2-1=0$，而 $4u^3+6u^2-1=(u+\frac{1}{2})(4u^2+4u-2)$，三个根 $-\frac{1}{2}$，$\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$ 互不相同，3 条切线；

$B(2,10)$：$10=12u^2-6-4u^3$，即 $4u^3-12u^2+16=0$，$4(u-2{)}^2(u+1)=0$，不同实根 $u=2$（二重），$u=-1$，2 条切线；

$C(0,2)$：$2=-4u^3$，$u^3=-\frac{1}{2}$，唯一实根，1 条切线。

结论：过 $A$、$B$、$C$ 分别有 3、2、1 条切线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义；“过定点的切线”与”在某点处的切线”的区分；三次函数图象与水平线的交点个数

2. 核心方法：设切点写切线 → 代入定点得辅助函数 $g(u)$ → 用 $g$ 的极值分析方程根的个数

3. 避坑指南：①”过某点的切线”的切点不一定是该点本身，切点横坐标 $u$ 是未知数——把 $P$ 直接代入 $f^{\prime }$ 是第一大错；②$u$ 的二重根（如 $B$ 点 $u=2$）只对应一条切线，按根的重数数成 3 条就错了；③(2) 中 $t=-3$ 或 $t=-1$ 时水平线恰过极值点，只有 2 条切线，区间两端都是开的就是这个原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数切线压轴题，与 2014 年新课标Ⅰ文第 21 题（导数存在性）、2015 年新课标Ⅰ文第 21 题（导数综合）同族。

2. 结论推广: 一般地，过定点 $P(x_0,y_0)$ 的切线条数 = 方程 $y_0=f(u)+f^{\prime }(u)(x_0-u)$ 的不同实根个数；对三次曲线，该方程是三次的，用辅助函数的极值定根数。

3. 方法推广: 切线条数问题标准化：设切点 → 写切线 → 代入定点 → 研究辅助函数的极值与水平线的位置关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-21 解-导数存在性
• 2015-新课标I卷文-21 解-导数综合