2015-新课标I卷文-21 解-导数综合

本题导读

导数压轴。$f^{\prime }(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}$ 的符号由 $g(x)=2x{e}^{2x}$（单调增、值域 $(0,+\infty )$）决定：（1）按 $a$ 讨论零点个数；（2）在极值点 $x_0$ 处用 $a=2x_0{e}^{2x_0}$ 整体替换，均值不等式收口。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 设函数 $f(x)=e^{2x}-a\ln x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$ 的零点的个数；

(2) 证明：当 $a>0$ 时，$f(x)⩾2a+a\ln \frac{2}{a}$.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}=\frac{2x{e}^{2x}-a}{x}$（$x>0$）。
2. （1）$g(x)=2x{e}^{2x}$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，值域 $(0,+\infty )$：$a⩽0$ 无零点，$a>0$ 恰一个。
3. （2）$f$ 在 $x_0$（$g(x_0)=a$）处取最小值，用 $a=2x_0{e}^{2x_0}$ 整体替换，均值不等式收口。

✅【答案】

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(1) 当 $a⩽0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 没有零点；当 $a>0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 存在唯一零点

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}=\frac{2x{e}^{2x}-a}{x}.$

令 $g(x)=2x{e}^{2x}$（$x>0$），则 $g^{\prime }(x)=2(1+2x)e^{2x}>0$，$g$ 单调递增，且 $x\to 0^{+}$ 时 $g\to 0$、$x\to +\infty$ 时 $g\to +\infty$，值域为 $(0,+\infty )$.

• 当 $a⩽0$ 时，$2x{e}^{2x}-a>0$ 恒成立，$f^{\prime }(x)$ 没有零点；
• 当 $a>0$ 时，方程 $g(x)=a$ 恰有一根，即 $f^{\prime }(x)$ 存在唯一的零点 $x_0$.

（2） 由（1），$a>0$ 时 $f^{\prime }$ 的唯一零点 $x_0$ 满足 $2x_0{e}^{2x_0}=a$，且 $f$ 在 $(0,x_0)$ 递减、在 $(x_0,+\infty )$ 递增，故 $f$ 在 $x_0$ 处取得最小值.

由 $a=2x_0{e}^{2x_0}$ 两边取对数：$\ln a=\ln 2+\ln x_0+2x_0$，即 $\ln x_0=\ln a-\ln 2-2x_0$. 于是

$f(x_0)=e^{2x_0}-a\ln x_0=\frac{a}{2x_0}-a\left(\ln a-\ln 2-2x_0\right)=\frac{a}{2x_0}+2a{x}_0+a\ln \frac{2}{a}.$

由均值不等式，$\frac{a}{2x_0}+2a{x}_0⩾2\sqrt{\frac{a}{2x_0}\cdot 2a{x}_0}=2a$.

故对一切 $x>0$：

$f(x)⩾f(x_0)⩾2a+a\ln \frac{2}{a},$

证毕.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：常见函数的导数与运算法则；函数零点的存在性与个数讨论；利用导数求最值并证明不等式。

2. 核心方法：“导函数分子构造 $g(x)$ 单调”把零点个数化为一元方程根的个数；“极值点处用方程整体替换”（隐零点代换）化掉超越量。

3. 避坑指南：① （1）必须说明 $g$ 单调且值域 $(0,+\infty )$，只说”单调”则零点个数结论没有依据；② （2）中 $\ln x_0$ 的替换来源是 $a=2x_0{e}^{2x_0}$ 取对数，直接对 $f(x_0)$ 硬算是死路；③ 用均值不等式后 $f⩾f(x_0)$ 与 $f(x_0)⩾\cdots$ 两条链都要写明，跳步扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：”$e^x$ 与 $\ln x$ 的相遇”是导数压轴的永恒主题，本题确立的”隐零点 + 均值放缩”套路在此后十年全国卷反复重现。

2. 结论推广: 若函数改为 $f(x)=e^{2x}-a\ln x-a$，则最小值为 $a+a\ln \frac{2}{a}$；参数平移不改变方法结构。

3. 方法推广: “隐零点代换”通法：设 $g(x_0)=a$，在 $f(x_0)$ 中凡出现 $a$ 就用 $g(x_0)$ 替换、凡出现 $\ln x_0$ 就由方程取对数替换，把超越式化为代数式再放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-21 解-求曲线的切线
• 2016-全国卷I文-21