2014-北京卷理-07 单-点的坐标

本题导读

本题考查空间几何体在各坐标平面上的正投影。核心在于理解“正投影”即为舍弃某一坐标轴的分量，将空间点简化为平面点，并计算由这些点围成的图形面积。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，已知 $A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$D(1,1,\sqrt{2})$.若 $S_1,S_2,S_3$ 分别表示三棱锥 $D-ABC$ 在 $xOy,yOz,zOx$ 坐标平面上的正投影图形的面积，则()

A. $S_1=S_2=S_3$　　　　　　　　　　　　　B. $S_2=S_1$ 且 $S_2\ne S_3$

C. $S_3=S_1$ 且 $S_3\ne S_2$　　　　　　　　　　　D. $S_3=S_2$ 且 $S_3\ne S_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 投影原理：
   • 在 $xOy$ 面上的投影：舍弃 $z$ 坐标，点变为 $(x,y)$。
   • 在 $yOz$ 面上的投影：舍弃 $x$ 坐标，点变为 $(y,z)$。
   • 在 $zOx$ 面上的投影：舍弃 $y$ 坐标，点变为 $(z,x)$（或 $(x,z)$）。
2. 图形判定：确定投影后的点围成的图形形状（通常是三角形或矩形）。
3. 面积计算：利用平面几何公式计算 $S_1,S_2,S_3$ 并进行大小比较。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $S_1$（在 $xOy$ 平面上的投影） 各点投影为：$A^{\prime }(2,0)$，$B^{\prime }(2,2)$，$C^{\prime }(0,2)$，$D^{\prime }(1,1)$。 观察可知，$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 构成一个直角三角形，其面积为 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。 点 $D^{\prime }(1,1)$ 恰好是正方形 $O(0,0)-A^{\prime }-B^{\prime }-C^{\prime }$ 的中心。 因此，投影图形是整个区域的轮廓，即由 $O,A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 围成的区域（注意 $D-ABC$ 的投影）。 三棱锥 $D-ABC$ 的底面 $ABC$ 在 $xOy$ 面上，投影即为 $△ABC$。 $S_1=S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。

第二步：计算 $S_2$（在 $yOz$ 平面上的投影） 各点投影为：$A^{\prime }(0,0)$，$B^{\prime }(2,0)$，$C^{\prime }(2,0)$（此处 $B,C$ 投影重合），$D^{\prime }(1,\sqrt{2})$。 修正投影点：$A(2,0,0)\to (0,0)$；$B(2,2,0)\to (2,0)$；$C(0,2,0)\to (2,0)$；$D(1,1,\sqrt{2})\to (1,\sqrt{2})$。 注意：在 $yOz$ 面，横坐标是 $y$，纵坐标是 $z$。 $A\to (0,0)$, $B\to (2,0)$, $C\to (2,0)$, $D\to (1,\sqrt{2})$。 投影图形是以 $(0,0)$ 和 $(2,0)$ 为底，高为 $\sqrt{2}$ 的三角形。 $S_2=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$。

第三步：计算 $S_3$（在 $zOx$ 平面上的投影） 各点投影为（坐标顺序为 $x,z$）： $A(2,0,0)\to (2,0)$；$B(2,2,0)\to (2,0)$；$C(0,2,0)\to (0,0)$；$D(1,1,\sqrt{2})\to (1,\sqrt{2})$。 投影图形是以 $(0,0)$ 和 $(2,0)$ 为底，高为 $\sqrt{2}$ 的三角形。 $S_3=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$。

第四步：比较大小 $S_1=2$，$S_2=\sqrt{2}$，$S_3=\sqrt{2}$。 故 $S_3=S_2$ 且 $S_3\ne S_1$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体在坐标平面上的正投影与面积。

2. 核心方法：分别舍弃 $z$、$x$、$y$ 坐标得投影点，再算面积比较。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正投影即舍弃对应坐标分量。

2. 结论推广: 三棱锥投影面积由底面与顶点投影围成区域决定。

3. 方法推广: 求投影图形面积先投影关键顶点再定形算面积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标
• 2013-浙江卷理-07 单-数量积的坐标运算
• 2013-江苏卷-13 填-坐标系中的距离公式