2014-北京卷理-08 单-合情推理

本题导读

本题是一道逻辑推理题。通过定义“成绩好”的偏序关系，考查在一组互不包含“好于”关系的元素中，满足特定互异性条件下的最大元素个数。核心在于理解偏序集中的“反链”概念。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有()

A. 2 人　　　　　B. 3 人　　　　　C. 4 人　　　　　D. 5 人

🔍【思路分析】

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1. 量化等级：为方便推理，将等级量化为数字：优秀(3)、合格(2)、不合格(1)。
2. 定义关系：设学生 $i$ 的成绩为 $(a_i,b_i)$，其中 $a$ 为语文，$b$ 为数学。 “甲比乙好” $⟺(a_{甲}\ge a_{乙}\text{ 且 }{b}_{甲}\ge b_{乙})$ 且 $(a_{甲},b_{甲})\ne (a_{乙},b_{乙})$。
3. 约束条件分析：
   • 条件一：没有谁比谁好。这意味着对于任意两名学生 $i,j$，若 $a_i>a_j$，则必有 $b_i<b_j$（反之亦然）。即语文和数学成绩必须呈现“反向”变动。
   • 条件二：不存在成绩完全相同的两人。
4. 寻找最大人数：这本质上是在寻找由 $(a,b)$ 组成的坐标点集中的最长“反链”。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出所有可能的成绩组合 语文、数学各 3 个等级，总共可能的组合有 $3\times 3=9$ 种： (3,3), (3,2), (3,1), (2,3), (2,2), (2,1), (1,3), (1,2), (1,1)。

第二步：根据“互不好于”构建学生组 要使甲、乙两人互不比对方好，且不相同，若甲的语文比乙高，则甲的数学必须比乙低。 我们可以尝试按照语文成绩 $a$ 的等级进行分类枚举：

• 情况 A：若语文成绩同为某等级 根据题目“不存在语文、数学成绩都相同”，若语文相同，数学也必须不同。 但若语文相同，数学不同，则数学高的人必然“比另一人成绩好”。 结论：这组学生中，每个人的语文成绩必须互不相同。

第三步：确定最大人数 既然每个人的语文成绩必须互不相同，而语文只有三个等级（优秀、合格、不合格）， 所以这组学生最多只能有 3 人。

第四步：验证 3 人的可行性 构造一组满足条件的学生：

• 学生 1：语文优秀(3)，数学不合格(1) $\to$ (3, 1)
• 学生 2：语文合格(2)，数学合格(2) $\to$ (2, 2)
• 学生 3：语文不合格(1)，数学优秀(3) $\to$ (1, 3) 检查：
• 1 与 2：$3>2$ 但 $1<2$，互不好于。
• 2 与 3：$2>1$ 但 $2<3$，互不好于。
• 1 与 3：$3>1$ 但 $1<3$，互不好于。 且三人成绩各不相同，符合题意。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偏序关系下最长反链的合情推理。

2. 核心方法：量化等级，利用“语文高则数学低”论证上界并构造可行例。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 偏序集中的反链概念。

2. 结论推广: 两门三等级互不好于时最多人数等于等级数 3。

3. 方法推广: 逻辑推理最值问题先论证上界再构造可行例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-16 填-合情推理