2014-北京卷理-16 解-样本估计总体的比例

本题导读

本题考查统计与概率的综合应用。通过篮球投篮数据表，要求计算特定条件的概率，并处理独立重复试验中的概率分配，最后考查数学期望与样本平均数之间的关系。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下表（假设各场比赛相互独立）：

场次	投篮次数	命中次数	场次	投篮次数	命中次数
主场 1	22	12	客场 1	18	8
主场 2	15	12	客场 2	13	12
主场 3	12	8	客场 3	21	7
主场 4	23	8	客场 4	18	15
主场 5	24	20	客场 5	25	12

(1) 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；

(2) 从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率；

(3) 记 $\bar{x}$ 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 $X$ 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 $E(X)$ 与 $\bar{x}$ 的大小（只需写出结论）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：计算每场比赛的命中率（命中次数/投篮次数），找出超过 0.6 的场次数量，利用古典概型概率公式 $P=\frac{k}{n}$ 求解。
2. 第二问分析：分别计算主场和客场命中率超过 0.6 的概率。事件“一场超、一场不超”包含两种互斥情况：主场超客场不超、主场不超客场超。利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算。
3. 第三问分析：根据数学期望的定义，当从样本中等可能随机抽取一个值时，其数学期望等于该样本的算术平均数。

✅【答案】

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(2) 分步计算概率

✍【详细解析】

Abstract

(1) 计算投篮命中率超过 0.6 的场次 各场次命中率如下：

• 主场：$12/22\approx 0.55$, $12/15=0.8$, $8/12\approx 0.67$, $8/23\approx 0.35$, $20/24\approx 0.83$。 （超过 0.6 的有：主场 2, 主场 3, 主场 5，共 3 场）
• 客场：$8/18\approx 0.44$, $12/13\approx 0.92$, $7/21\approx 0.33$, $15/18\approx 0.83$, $12/25=0.48$。 （超过 0.6 的有：客场 2, 客场 4，共 2 场） 总计超过 0.6 的场次为 $3+2=5$ 场。 由古典概型知，所求概率 $P_1=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。

(2) 分步计算概率 设事件 $A$ 为“主场命中率超过 0.6”，则 $P(A)=\frac{3}{5}$； 设事件 $B$ 为“客场命中率超过 0.6”，则 $P(B)=\frac{2}{5}$。 “一个主场和一个客场，命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”对应的概率为： $P=P(A)\overline{P(B)}+\overline{P(A)}P(B)$ $P=\frac{3}{5}\times (1-\frac{2}{5})+(1-\frac{3}{5})\times \frac{2}{5}$ $P=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{9+4}{25}=\frac{13}{25}$

(3) 比较 $E(X)$ 与 $\bar{x}$ 由数学期望定义，随机变量 $X$ 为 10 场比赛中命中次数的等可能选取： $E(X)=12\times \frac{1}{10}+12\times \frac{1}{10}+\cdots +12\times \frac{1}{10}$ 其形式完全等同于命中次数的算术平均数 $\bar{x}=\frac{1}{10}\sum x_i$。 故结论为：$E(X)=\bar{x}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、独立事件与数学期望。

2. 核心方法：算各场命中率统计超 0.6 场次，用独立与互斥求概率，比较期望与均值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与随机变量期望的定义。

2. 结论推广: 等可能抽样中 $E(X)=\bar{x}$。

3. 方法推广: 统计图表求概率先统计频数再算比例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)