2015-北京卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查概率统计的综合应用。第一问和第二问属于古典概型，核心在于通过列举法准确找出符合条件的事件样本点；第三问考查方差的计算，要求学生熟练掌握方差的定义式并能处理含有参数的样本数据对比。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立.从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.

(1) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；

(2) 如果 $a=25$，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3) 当 $a$ 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

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1. 第一问（简单概率）：A 组共 7 人，找出康复时间 $⩾14$ 的人数，利用古典概型概率公式 $P=\frac{m}{n}$ 计算。
2. 第二问（复合概率）：$a=25$ 时，B 组数据确定。从 A, B 中各选一人共有 $7\times 7=49$ 种可能。通过列举法找出所有“甲 > 乙”的组合，计算总数后求概率。
3. 第三问（方差计算）：
   • 首先计算 A 组的方差。A 组是公差为 1 的等差数列，平均数为 13。
   • 建立 B 组方差关于 $a$ 的等式。
   • 比较两组数据偏离平均数的程度，寻找使离散程度一致的 $a$ 值。

✅【答案】

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若要方差 $S_B^2=4$，由数值的分布特征及方差定义推算： 当 $a=11$ 或 $a=18$ 时，A, B 两组的方差相等

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率 A 组 7 位病人的康复时间分别为：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16。 其中不少于 14 天（即 $⩾14$）的有：14, 15, 16，共 3 人。 根据古典概型公式，所求概率 $P_1=\frac{3}{7}$。

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(2) 如果 $a=25$，求甲比乙康复时间长的概率 当 $a=25$ 时，B 组数据为：12, 13, 15, 16, 17, 14, 25。 所有可能的结果总数为 $7\times 7=49$ 种。 设甲的时间为 $x_A$，乙的时间为 $x_B$。符合 $x_A>x_B$ 的情况有：

• 若 $x_B=12$，$x_A$ 可取 13, 14, 15, 16（共 4 种）；
• 若 $x_B=13$，$x_A$ 可取 14, 15, 16（共 3 种）；
• 若 $x_B=14$，$x_A$ 可取 15, 16（共 2 种）；
• 若 $x_B=15$，$x_A$ 可取 16（共 1 种）；
• 若 $x_B$ 取 16, 17, 25，甲没有比乙长的情况。 符合条件的样本点总数 $m=4+3+2+1=10$。 故所求概率 $P_2=\frac{10}{49}$。

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(3) 判定方差相等时 $a$ 的值

1. 计算 A 组方差 $S_A^2$： ${\bar{x}}_A=\frac{10+11+12+13+14+15+16}{7}=13$。 $S_A^2=\frac{1}{7}[(-3{)}^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+2^2+3^2]=\frac{28}{7}=4$。
2. 分析 B 组数据： B 组已知数据为 12, 13, 14, 15, 16, 17。 这 6 个数已经构成一个对称结构，平均数为 14.5。 若要方差 $S_B^2=4$，由数值的分布特征及方差定义推算： 当 $a=11$ 或 $a=18$ 时，A, B 两组的方差相等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 古典概型的核心：列举样本点时务必做到“不重不漏”。对于两组抽样问题，建立类似坐标系的表格进行勾选是很好的习惯。
2. 方差的直观理解：方差反映数据的离散程度。A 组数据非常规整（连续整数），其方差较小。B 组已知部分也具有类似的离散结构，只需补全 $a$ 使其整体离散度一致即可。
3. 避坑指南：在第三问计算中，不要盲目代入含 $a$ 的复杂代数式求最值，可以利用对称性简化思考。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于第二问，如果数据量很大，可以采用概率分布表或面积法进行估算。
• 变式思考：如果题目改为“求甲、乙康复时间之和小于 25 的概率”，该如何列举？ (提示：先固定甲，看乙的取值上限，逐步累加。)
• 能力提升：掌握等差数列的方差简便公式：若数列为 $a,a+d,a+2d\dots a+(n-1)d$，其方差为 $\frac{(n^2-1)d^2}{12}$。利用此公式可快速算出 $S_A^2=\frac{49-1}{12}\times 1^2=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

第（1）问为37，第（2）问为1049，第（3）问为𝑎=11或𝑎=18.

类题演练(Links)

• 2014-北京卷理-16 解-样本估计总体的比例
• 2013年北京卷理-16
• 2016-北京卷理-16