2014-大纲卷理-21 解-抛物线定义与性质

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问利用抛物线定义解决距离比例问题；第二问是全卷难点，考查直线与抛物线相交、垂直平分线以及四点共圆的综合应用，计算量大，逻辑链长。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 已知抛物线$C:y^2=2px$（$p>0$) 的焦点为$F$，直线$y=4$与$y$轴的交点为$P$，与$C$的交点为$Q$，且$|QF|=\frac{5}{4}|PQ|$. (1)求$C$的方程； (2)过$F$的直线$l$与$C$相交于$A,B$两点，若$AB$的垂直平分线$l^{\prime }$与$C$相交于$M,N$两点，且$A,M,B,N$四点在同圆上，求$l$的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一个问题（求方程）：

   • 设置$Q$的坐标为$(x_0,4)$，代入抛物线求解$x_0=\frac{8}{p}$。

   • 利用物抛线定义，$|QF|=x_0+\frac{p}{2}$。

   • 利用点$P(0,4)$得$|PQ|=x_0$。

   • 根据现有比例排列$p$的困难。

2. 第二问（四点共圆）：

   • 联立直线：设置$l$的方程为$x=my+1$（过焦点$F(1,0)$），与$y^2=4x$联立，求出$AB$中点$D$及弦长$|AB|$。

   • 处理垂直平分线：$l^{\prime }$过$D$且斜投影$-\frac{1}{m}$。 联立$l^{\prime }$与抛物线，求出$MN$中点$E$及弦长$|MN|$。

   • 几何条件转化：$A,M,B,N$四点在同一圆上，由于$MN$垂直平分$AB$，根据需求性，圆心必在$MN$上。设圆心为$E$，则四点共圆等价于中点间的距离与弦长满足勾股关系：$(\frac{1}{2}|AB|{)}^2+|DE{|}^2=(\frac{1}{2}|MN|{)}^2$。

   • 现场$m$：代入各项坐标与长度表达式，解出$m$。

✅【答案】

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故直线$l$的方程为$x-y-1=0$或$x+y-1=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设定点$Q$的坐标为$(x_0,4)$，代入$y^2=2px$得$16=2p{x}_0⟹x_0=\frac{8}{p}$。 点$P(0,4)$，故$|PQ|=x_0=\frac{8}{p}$。 由抛物线定义得$|QF|=x_0+\frac{p}{2}=\frac{8}{p}+\frac{p}{2}$。因为$|QF|=\frac{5}{4}|PQ|$，所以$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{p}$。 整理得$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=\frac{10}{p}⟹\frac{p}{2}=\frac{2}{p}⟹p^2=4$。因为$p>0$，所以$p=2$。 故抛物线$C$的方程为$y^2=4x$。

(2) 解： 由(1)知焦点$F(1,0)$。由题意知直线$l$的斜率存在且不为$0$，设$l$的方程为$x=my+1$（$m\ne 0$)。 联立$\{\begin{array}{l}x=my+1\\ y^2=4x\end{array}⟹y^2-4my-4=0$。设置$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$y_1+y_2=4m,y_1{y}_2=-4$。 $AB$中点$D$的纵向坐标$y_D=2m$，横坐标$x_D=m(2m)+1=2m^2+1$。即$D(2m^2+1,2m)$。 弦长$|AB|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\sqrt{(4m{)}^2-4(-4)}=4(1+m^2)$。

直线$l^{\prime }$经过点$D$且与$l$垂直，倾斜$-\frac{1}{m}$，其方程为$y-2m=-m(x-2m^2-1)⟹x=-\frac{1}{m}(y-2m)+2m^2+1⟹x=-\frac{1}{m}y+2m^2+3$。 联立$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{m}y+2m^2+3\\ y^2=4x\end{array}⟹y^2+\frac{4}{m}y-4(2m^2+3)=0$。设置$M(x_3,y_3),N(x_4,y_4)$，其核心中点$E$坐标为$y_E=-\frac{2}{m}$，$x_E=-\frac{1}{m}(-\frac{2}{m})+2m^2+3=\frac{2}{m^2}+2m^2+3$。 弦长$|MN|=\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\sqrt{(\frac{-4}{m}{)}^2+16(2m^2+3)}=\frac{4(m^2+1)}{m^2}\sqrt{2m^2+1}$。

因为$MN$垂直平分$AB$，若$A,M,B,N$四点共圆，由已知性可知，圆心必为$MN$的中点$E$同时需要满足主轴稳定性，即$|EA|=|EM|$，即$(\frac{1}{2}|AB|{)}^2+|DE{|}^2=(\frac{1}{2}|MN|{)}^2$。 计算$|DE{|}^2=(x_E-x_D{)}^2+(y_E-y_D{)}^2=(\frac{2}{m^2}+2{)}^2+(-\frac{2}{m}-2m{)}^2=\frac{4(m^2+1{)}^2}{m^4}+\frac{4(m^2+1{)}^2}{m^2}$。 代入等式化简得： $4(m^2+1{)}^2+\frac{4(m^2+1{)}^3}{m^4}=\frac{4(m^2+1{)}^2(2m^2+1)}{m^4}$。 两边约去$4(m^2+1{)}^2$得： $1+\frac{m^2+1}{m^4}=\frac{2m^2+1}{m^4}⟹m^4+m^2+1=2m^2+1⟹m^4-m^2=0$。因为$m\ne 0$，所以$m^2=1⟹m=\pm 1$。

当$m=1$时，$l$的方程为$x-y-1=0$；当$m=-1$时，$l$的方程为$x+y-1=0$。

故直线$l$的方程为$x-y-1=0$或$x+y-1=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径公式$|PF|=x+\frac{p}{2}$；“垂直平分”意味着几何价格性。

2. 核心方法：“几何问题代数化”。将“四点共圆”转化为“圆心到顶点的距离等于半径”，并利用勾股定理简化计算。

3. 避坑指南：第二次询问计算量极大，建议保持$m^2+1$作为一个整体进行大约挖矿，否则极易在中途出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的幂定理、相交弦定理在解析几何中的表达。

2. 结论推广: 对于一般的二次椭圆，若不要互相垂直的弦的垂直平分线重合，则存在四点共圆的可能。

3. 方法推广: 涉及四点共圆，除了利用长度，还可以利用圆的方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$代入点坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义